MIT-18.06-线性代数（第八讲）

第八讲 —— 可解性及解的结构

本讲将完整解出线性方程组，目标是：。其是否有解需要通过消元来确认，有解则需要知道是唯一解还是多解，并求出所有解。

1. 可解性

有方程组，，如果方程组有解，需要满足什么条件？想要方程组有解，必须有。换句话说，如果左侧各行的线性组合得到，那么右侧常数的相同组合必然也等于。

写成增广矩阵形式，，开始消元 ——> ——> ，现在方程三变为，这就是有解的条件，与之前的估计保持一致，即需满足。假设右侧向量，此时方程有解，代入得方程组。

可解性（Solvability），有解时右侧向量需满足的条件，满足什么条件，才能让总有解。从列空间的角度，必须属于的列空间，有解，也就是说必须是各列的线性组合。从行的角度，如果各行的线性组合得到零行，那么中元素的同样组合必然也是零。

2. 求的所有解

第一步只求一个特定的解，即特解。将所有自由变量设为，然后解出的主变量。本例中设，方程组此时为，回代得到。特解。

其他的解如何求？这里的关键是：可以加上零空间中的任意，将与相加，最终结果是所有的解。即complete solution 。因为，则有，对于方程组某解，其与零空间内任意向量之和仍为解。

回到本例，。此处零空间是中的二维子空间。是不穿过原点而穿过特解的二维平面。

3. 矩阵的秩

矩阵有行，列，个主元，此时必然有。
满秩（full rank），即取最大时的情况，这存在两种可能性，分别对应于和的数值。

列满秩（full column rank），，意味着每一列都有主元，没有自由变量，这时零空间内只有零向量，因为没有自由变量能够赋值，而如果有解的话只有特解一个，我们称其为唯一解，或者无解。

举例有矩阵，其简化行阶梯形式。这个矩阵有两个无关的行，这里有四个方程，却只有两个未知数，不可能总有解。只有当右侧向量恰好是各列的线性组合时，方程组才有解，例如，对应特解。

行满秩（full row rank），，每一行都会有主元，消元时不会出现零行，因此对没有要求，对应任意，都有解。自由变量个数为，也就是。行满秩情况总有解。

举例有矩阵，其行最简形式，中各主列构成单位阵，剩余部分构成零空间内特解。

满秩（full rank），的情况，举例矩阵，首先这种矩阵肯定是方阵，然后它满秩，这得到的是一个可逆矩阵，其。零空间只包含零向量，对于则一定有解。由于秩等于，任意都有解，又由于秩等于，因此解唯一。

矩阵的秩决定了方程组解的数目。总结如下：