MIT-18.06-线性代数（第四讲）

第四讲 —— 的分解

回顾上一节没讲完的一些内容，首先是乘积的逆，两矩阵相乘，且它们的逆均已知，那么的逆是什么？有，那么，为什么逆矩阵顺序要反过来？这就像先脱鞋子再脱袜子，然后其逆动作应该是先穿袜子，再穿鞋子。（hhhhhh，真是生动形象的类比）

如果转置某可逆方阵，那么其转置的逆是什么？，两侧同时转置，有，什么是转置的逆，的逆的转置就是转置的逆。换句话说，转置和逆两种运算，对于单个矩阵而言，其顺序可以颠倒。

今天的总目标是，以总的思路审视高斯消元。我们知道通过消元得到，今天要直接考虑。消元的目的只是为了正确认识矩阵的概念，这里的是最基础的矩阵分解。

1. 矩阵的分解

假设有可逆矩阵，然后用初等矩阵进行变换，有，即。而从的角度，有。。U代表upper triangular，L代表lower triangular。上式还可写成，记作，D代表diagonal。

有矩阵，（假设没有行交换），则，，。

假设有，，。

。

。。中矩阵相乘的顺序非常好，2和5不会冲突，不会得到10，这种顺序，消元乘数还在里，这是关键，要求出，不需要任何运算，只要把所有消元乘数都写进来，就能得到。

一个的矩阵，需要多少次操作，得到？令，假设矩阵中没有任何的0，将“先乘后减”记为一次操作， 总的步骤大约为。写成公式为次。等号右侧向量大致需要次运算。

2. 置换与转置

有，
置换矩阵有多少种？总共有6个。如果将它们两两相乘，其结果仍然在6个当中。如果取其逆，只用将行换回去即可，因此逆也在6个当中。。置换矩阵其逆（inverse）等于其转置（transpose）。
置换矩阵有多少种？总共有24个。