方程与曲线:2015年理数广东卷题20
20.(本小题满分14分)
已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点
(1)求圆 的圆心坐标;
(2)求线段 的中点 的轨迹 的方程;
(3)是否存在实数 ,使得直线 与曲线 只有一个交点? 若存在,求出 的取值范围; 若不存在,说明理由.
【解答问题1】
圆 的方程变形可得:
所以,圆 的圆心坐标为 ,半径为 .
【解答问题2】
如上图所示,原点 在圆 之外, 是过原点的两条直线。 是直角三角形,所以
直线 的斜率为:
两点的坐标为:
根据垂径定理可得:, 如下图所示,
,
设点 坐标为 , 则
结论:点 的轨迹 的方程为:
【解答问题3】
直线 经过定点
根据前面的结论可知:曲线 是以 为圆心的一段圆弧,其端点为
直线 经过定点
当 , 直线 与加弧相切,只有一个公共点;
的斜率分别为:
综上可知,
【提炼与提高】
本题没有用到多少高深的数学知识和技巧,但对考生的思维严谨性有较高要求。
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