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方程与曲线：2015年理数广东卷题20

方程与曲线：2015年理数广东卷题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-02 12:18 被阅读0次

方程与曲线：2015年理数广东卷题20

20.（本小题满分14分）
已知过原点的动直线 l 与圆 C_1∶x^2+y^2-6x+5=0 相交于不同的两点 A，B.
（1）求圆 C_1 的圆心坐标;
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程;
（3）是否存在实数 k，使得直线 L∶y=k(x-4) 与曲线 C 只有一个交点? 若存在，求出 k 的取值范围; 若不存在，说明理由.

【解答问题1】

圆 C_1 的方程变形可得：(x-3)^2+ y^2 = 4

所以，圆 C_1 的圆心坐标为 (3,0)，半径为 2.

【解答问题2】

如上图所示，原点 O 在圆 C_1 之外，OP,OQ 是过原点的两条直线。\triangle OPD 是直角三角形，所以 PD:OD:OP=2:3:\sqrt{5}

直线 OP,OQ 的斜率为：k_{_{OP}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\;k_{_{OQ}}=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}

P,Q 两点的坐标为：P(\dfrac{5}{3}, \dfrac{2}{3}\sqrt{5}),\; Q(\dfrac{5}{3}, -\dfrac{2}{3}\sqrt{5})

根据垂径定理可得：OM \perp OD, 如下图所示，

\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{DM} =0,

设点 M 坐标为 M(x_0,y_0), 则

(x_0-0)(x_0-3) + (y_0-0)(y_0-0)=0

(x_0-\dfrac{3}{2})^2+y^2_0=(\dfrac{3}{2})^2

结论：点 M 的轨迹 C 的方程为：(x-\dfrac{3}{2})^2+y^2=(\dfrac{3}{2})^2\quad(\dfrac{5}{3} \lt x \leqslant 3)

【解答问题3】

直线 L∶y=k(x-4) 经过定点 G(4,0)

根据前面的结论可知：曲线 C 是以 (\dfrac{3}{2},0) 为圆心的一段圆弧，其端点为 P,Q

直线 L∶y=k(x-4) 经过定点 G(4,0)

当 k=\pm \dfrac{3}{4}, 直线 L 与加弧相切，只有一个公共点；

GP,GQ 的斜率分别为：\mp \dfrac{2}{7} \sqrt{5}

综上可知，\lbrace k | -\dfrac{2}{7} \sqrt{5} \lt k \lt \dfrac{2}{7} \sqrt{5} ,\;{or}\; k=-\dfrac{3}{4}, \;{or}\; k=\dfrac{3}{4} \rbrace

【提炼与提高】

本题没有用到多少高深的数学知识和技巧，但对考生的思维严谨性有较高要求。

【相关考题】

「2014年文数全国卷A题20」

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