美文网首页
方程与曲线:2015年理数广东卷题20

方程与曲线:2015年理数广东卷题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-02 12:18 被阅读0次

    方程与曲线:2015年理数广东卷题20

    20.(本小题满分14分)
    已知过原点的动直线 l 与圆 C_1∶x^2+y^2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B.
    (1)求圆 C_1 的圆心坐标;
    (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程;
    (3)是否存在实数 k,使得直线 L∶y=k(x-4) 与曲线 C 只有一个交点? 若存在,求出 k 的取值范围; 若不存在,说明理由.


    【解答问题1】

    C_1 的方程变形可得:(x-3)^2+ y^2 = 4

    所以,圆 C_1 的圆心坐标为 (3,0),半径为 2.


    【解答问题2】

    如上图所示,原点 O 在圆 C_1 之外,OP,OQ 是过原点的两条直线。\triangle OPD 是直角三角形,所以 PD:OD:OP=2:3:\sqrt{5}

    直线 OP,OQ 的斜率为:k_{_{OP}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\;k_{_{OQ}}=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}

    P,Q 两点的坐标为:P(\dfrac{5}{3}, \dfrac{2}{3}\sqrt{5}),\; Q(\dfrac{5}{3}, -\dfrac{2}{3}\sqrt{5})

    根据垂径定理可得:OM \perp OD, 如下图所示,

    \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{DM} =0,

    设点 M 坐标为 M(x_0,y_0), 则

    (x_0-0)(x_0-3) + (y_0-0)(y_0-0)=0

    (x_0-\dfrac{3}{2})^2+y^2_0=(\dfrac{3}{2})^2

    结论:点 M 的轨迹 C 的方程为:(x-\dfrac{3}{2})^2+y^2=(\dfrac{3}{2})^2\quad(\dfrac{5}{3} \lt x \leqslant 3)


    【解答问题3】

    直线 L∶y=k(x-4) 经过定点 G(4,0)

    根据前面的结论可知:曲线 C 是以 (\dfrac{3}{2},0) 为圆心的一段圆弧,其端点为 P,Q

    直线 L∶y=k(x-4) 经过定点 G(4,0)

    k=\pm \dfrac{3}{4}, 直线 L 与加弧相切,只有一个公共点;

    GP,GQ 的斜率分别为:\mp \dfrac{2}{7} \sqrt{5}

    综上可知,\lbrace k | -\dfrac{2}{7} \sqrt{5} \lt k \lt \dfrac{2}{7} \sqrt{5} ,\;{or}\; k=-\dfrac{3}{4}, \;{or}\; k=\dfrac{3}{4} \rbrace


    【提炼与提高】

    本题没有用到多少高深的数学知识和技巧,但对考生的思维严谨性有较高要求。


    【相关考题】

    「2014年文数全国卷A题20」


    相关文章

      网友评论

          本文标题:方程与曲线:2015年理数广东卷题20

          本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/nmzxwltx.html