指数函数与指数函数：2014年理数全国卷A题21

指数函数与指数函数：2014年理数全国卷A题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-28 11:52 被阅读0次

2014年理数全国卷A题21

设函数 $f(x)=a e^x \ln x + \dfrac{b e^{x-1}}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=e(x-1)+2.$

（I）求 $a,b$ ;

（Ⅱ）证明∶ $f(x) \gt 1$ .

【解答问题I】

定义域为 $(0,+\infty)$

$f'(x)=ae^x \ln x + a e^x \cdot (\dfrac {1}{x}) + b e^{x-1}\cdot (\dfrac {1}{x}) - b e^{x-1} \cdot (\dfrac {1}{x^2})$

根据切线方程可得：

$f(1)=b=2$

$f'(1)=a \cdot e =e \Rightarrow a=1$

结论： $a=b=1$

【解答问题Ⅱ】

$f(x)=e^x \ln x + \dfrac {x^{x-1}}{x}$

定义域为 $(0,+\infty)$

$f(x) \gt 1$ 等效于： $e^x \ln x + \dfrac {e^{x-1}}{x} -1 \gt 0$ , 又等效于：

$\dfrac {e^x}{x} ( x \ln x + \dfrac {2}{e}) \gt 1$

记 $g(x) = \dfrac {e^x}{x}, \; h(x)=x \ln x + \dfrac {2}{e}$ ,

则 $f(x) = g(x) \cdot h(x)$

$g'(x) = \dfrac {1}{x} (1-\dfrac {1}{x})e^x$

$h'(x)=\ln x +1$

当 $x \in (0,1), \; g'(x) \lt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递减；

当 $x \in (1, +\infty), \; g'(x) \gt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递增；

当 $x=1$ , 函数 $g(x)$ 取得 $(0,+\infty)$ 内的最小值 $g(1)=e$

当 $x \in (0, \dfrac {1}{e}), \; h'(x) \lt 0$ , 函数 $h(x)$ 单调递减；

当 $x \in (\dfrac {1}{e}, +\infty), \; h'(x) \gt 0$ , 函数 $h(x)$ 单调递增；

当 $x=\dfrac {1}{e}$ , 函数 $h(x)$ 取得 $(0,+\infty)$ 内的最小值 $h(\dfrac {1}{e})= \dfrac {1}{e}$

当 $x \in (0, \dfrac {1}{e}), g(x) \gt e, h(x) \gt \dfrac {1}{e}$

当 $x = \dfrac {1}{e}, g(x) \gt e, h(x) \gt \dfrac {1}{e}$

当 $x \in (\dfrac {1}{e},1), g(x) \gt e, h(x) = \dfrac {1}{e}$

当 $x = 1, g(x) = e, h(x) \gt \dfrac {1}{e}$

当 $x \in (1, +\infty), g(x) \gt e, h(x) \gt \dfrac {1}{e}$

综上所述，对 $x \in (0,+\infty), f(x) \gt 0$ .

证明完毕.

【提炼与提高】

两个函数可以进行加减乘除运算，这是构造新函数的常用方法；反之，在解题过程中，常常需要把一个复杂的函数拆解成两个或者多个函数。本题中，我们就将一个复杂函数拆成了两个函数的乘积。

函数 $f(x) = \dfrac {e^x}{x}$ 在 $x=1$ 时取得极小值；且 $f(1)=e$

函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $x = \dfrac {1}{e}$ 时取得极小值；且 $f(\dfrac {1}{e}) = -\dfrac {1}{e}$

指数函数、对数函数与正比、反比函数经过乘除运算后所构造出的新函数，在高考中十分常见，一定要重视.

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