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指数函数：2013年文数全国卷A题20

指数函数：2013年文数全国卷A题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-25 18:58 被阅读0次

指数函数：2013年文数全国卷A题20

已知函数 f(x)=\mathrm{e}^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x，曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为 y=4x＋4.

（Ⅰ）求 a，b 的值;

（Ⅱ）讨论 f(x) 的单调性，并求 f(x) 的极大值.

【解答问题Ⅰ】

函数 f(x) 的定义域为 (-\infty,+\infty)

(xe^x)' = xe^x + e^x

f'(x)=axe^x+(a+b)e^x-2x-4

根据切线方程可知：f(0)=4, f'(0)=4，所以

\left\{ \begin{array}\\ b=4,\\ a+b-4=4, \end{array} \right.

解得：a=4,b=4.

【解答问题Ⅱ】

根据前节结论可知：f(x)=4xe^x+4e^x-x^2-4x

f'(x)=4xe^x+8e^x-2x-4=2(x+2)(2e^x-1)

f'(-2)=f'(-\ln 2)=0

当 x \lt -2, f'(x) \gt 0, 函数单调递增；

当 x=-2，函数 f(x) 取得极大值；

当 -2 \lt x \lt - \ln 2, f'(x) \lt 0, 函数单调递减；

当 x=- \ln 2，函数 f(x) 取得极小值；

当 x \gt - \ln 2, f'(x) \gt 0, 函数单调递增；

所以， f(x) 的极大值 f_{max} = f(-2) = 4 - \dfrac {4}{e^2}.

【提炼与提高】

这是一道入门级的高考题，可以用作同步训练，提高熟练程度。

利用导函数讨论函数的单调性和极值，是常规操作，一步步往下走就好了。

有几个关键点强调一下：

\boxed{(xe^x)' = xe^x + e^x}

这个函数在高考中经常出现，注意一下。

0 \lt \ln 2 \lt 1

-2 \lt - \ln 2 \lt 0

e^{- \ln 2} = \dfrac {1}{e^2}

更多考题：函数与导数

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