指数函数：2013年文数全国卷A题20

指数函数：2013年文数全国卷A题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-25 18:58 被阅读0次

指数函数：2013年文数全国卷A题20

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=4x＋4$ .

（Ⅰ）求 $a$ ， $b$ 的值;

（Ⅱ）讨论 $f(x)$ 的单调性，并求 $f(x)$ 的极大值.

【解答问题Ⅰ】

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$

$(xe^x)' = xe^x + e^x$

$f'(x)=axe^x+(a+b)e^x-2x-4$

根据切线方程可知： $f(0)=4, f'(0)=4$ ，所以

$\left\{ \begin{array}\\ b=4,\\ a+b-4=4, \end{array} \right.$

解得： $a=4,b=4$ .

【解答问题Ⅱ】

根据前节结论可知： $f(x)=4xe^x+4e^x-x^2-4x$

$f'(x)=4xe^x+8e^x-2x-4=2(x+2)(2e^x-1)$

$f'(-2)=f'(-\ln 2)=0$

当 $x \lt -2, f'(x) \gt 0$ , 函数单调递增；

当 $x=-2$ ，函数 $f(x)$ 取得极大值；

当 $-2 \lt x \lt - \ln 2, f'(x) \lt 0$ , 函数单调递减；

当 $x=- \ln 2$ ，函数 $f(x)$ 取得极小值；

当 $x \gt - \ln 2, f'(x) \gt 0$ , 函数单调递增；

所以， $f(x)$ 的极大值 $f_{max} = f(-2) = 4 - \dfrac {4}{e^2}$ .

【提炼与提高】

这是一道入门级的高考题，可以用作同步训练，提高熟练程度。

利用导函数讨论函数的单调性和极值，是常规操作，一步步往下走就好了。

有几个关键点强调一下：

$\boxed{(xe^x)' = xe^x + e^x}$

这个函数在高考中经常出现，注意一下。

$0 \lt \ln 2 \lt 1$

$-2 \lt - \ln 2 \lt 0$

$e^{- \ln 2} = \dfrac {1}{e^2}$

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