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方程与曲线：2013年文数全国卷B题20

方程与曲线：2013年文数全国卷B题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-13 14:02 被阅读0次

方程与曲线：2013年文数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 \sqrt{2}，在 y 轴上截得线段长为 \sqrt{3}.
（I）求圆心 P 的轨迹方程;
（Ⅱ）若 P 点到直线 y=x 的距离为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}，求圆 P 的方程.

【解答问题I】

如图所示，点 M,N 为圆 P 在 x,y 轴上所截弦的中点。根据垂径定理可知：PM \perp x 轴；PN \perp y 轴。

设点 P 坐标为 (x_0,y_0), 根据勾股定理可得：R^2=|x_0|^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2=|y_0|^2+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2

4y^2_0-4x^2_0=1

结论：圆心 P 的轨迹方程为：4y^2-4x^2=1

【解答问题Ⅱ】

与直线 y=x 的距离为 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 的点在两条直线上：y=x+1，y=x-1

将这两条直线直线的方程与双曲线方程联立，可得两个方程组，即可求出圆心坐标。

\left\{ \begin{array} \\ 4y^2-4x^2=1 \\ \\ y=x+1 \\ \end{array} \right. 解得：\left\{ \begin{array} \\ x=-\dfrac{3}{8} \\ y=\dfrac{5}{8} \\ \end{array} \right.

\left\{ \begin{array} \\ 4y^2-4x^2=1 \\ \\ y=x-1 \\ \end{array} \right. 解得：\left\{ \begin{array} \\ x=\dfrac{3}{8} \\ y=-\dfrac{5}{8} \\ \end{array} \right.

R^2=|-\dfrac{3}{8}|^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2=\dfrac{57}{64}

所以，满足要求的圆 P 的方程有两个：

(x+\dfrac{3}{8})^2+(y-\dfrac{5}{8})^2=\dfrac{57}{64}

(x-\dfrac{3}{8})^2+(y+\dfrac{5}{8})^2=\dfrac{57}{64}

【提炼与提高】

解析几何是用代数的方法研究几何。综合应用几何与代数的知识，是解答解析几何问题的基本窍门。

在问题I的解答中用到了以下几何学定理：

『垂径定理』

『勾股定理』

问题Ⅱ的解答则用到了集合思想。满足条件的圆心既在双曲线上，又在直线上；所以，是这两个集合的交集。将双曲线与直线的方程联立，即可解出具体的圆心坐标。

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