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方程与曲线：2009年文数全国卷题20

方程与曲线：2009年文数全国卷题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-15 21:54 被阅读0次

方程与曲线：2009年文数全国卷题20

20.（本小题满分12分）
已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.

（I）求椭圆 C 的方程;
（Ⅱ）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，\dfrac{|OP|}{|OM|}=e （ e 为椭圆 C 的离心率），求点 M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

【解答问题I】

依题意可知：

\left\{ \begin{array}\\ a+c=7 \\ a-c=1 \\ \end{array} \right. a=4,c=3,b^2=a^2-c^2=7

椭圆 C 的方程为： \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1

【解答问题Ⅱ】

设点 M 坐标为 M(x_0,y_0), 依题意可知：x_0=x_{_P} 且 x_0 \in [-a,a]

\dfrac{|OP|}{|OM|}=e \Rightarrow\; |OP|^2=e^2|OM|^2

x^2_{_P}+y^2_{_P}=e^2(x^2_0+y^2_0)

y^2_{_P}=(e^2-1)x^2_0 + e^2y^2_0=-\dfrac{b^2}{a^2}x^2_0+\dfrac{c^2}{a^2}y^2_0

因为点 P 为椭圆 C 上的动点，所以 \dfrac{x^2_{_P}}{a^2}+\dfrac{y^2_{_P}}{b^2}=1

代入后得：\dfrac{1}{a^2} x^2_0 + \dfrac{1}{b^2}(-\dfrac{b^2}{a^2}x^2_0+\dfrac{c^2}{a^2}y^2_0)=1

y^2_0=\dfrac{a^2b^2}{c^2}

y_0=\pm \dfrac{ab}{c}=\pm \dfrac{4}{3}\sqrt{7} \quad (-4 \leqslant x_0 \leqslant4)

结论：点 M 的轨迹方程为：y=\pm \dfrac{4}{3}\sqrt{7} \quad (-4 \leqslant x \leqslant4)，其轨迹是两条平行于 x 轴的线段.

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