方程与曲线：2009年文数全国卷题20

方程与曲线：2009年文数全国卷题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-15 21:54 被阅读0次

方程与曲线：2009年文数全国卷题20

20.（本小题满分12分）
已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $xOy$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.

（I）求椭圆 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点， $M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点， $\dfrac{|OP|}{|OM|}=e$ （ $e$ 为椭圆 C 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

【解答问题I】

依题意可知：

$\left\{ \begin{array}\\ a+c=7 \\ a-c=1 \\ \end{array} \right.$ $a=4,c=3,b^2=a^2-c^2=7$

椭圆 $C$ 的方程为： $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$

【解答问题Ⅱ】

设点 $M$ 坐标为 $M(x_0,y_0)$ , 依题意可知： $x_0=x_{_P}$ 且 $x_0 \in [-a,a]$

$\dfrac{|OP|}{|OM|}=e \Rightarrow\; |OP|^2=e^2|OM|^2$

$x^2_{_P}+y^2_{_P}=e^2(x^2_0+y^2_0)$

$y^2_{_P}=(e^2-1)x^2_0 + e^2y^2_0=-\dfrac{b^2}{a^2}x^2_0+\dfrac{c^2}{a^2}y^2_0$

因为点 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，所以 $\dfrac{x^2_{_P}}{a^2}+\dfrac{y^2_{_P}}{b^2}=1$

代入后得： $\dfrac{1}{a^2} x^2_0 + \dfrac{1}{b^2}(-\dfrac{b^2}{a^2}x^2_0+\dfrac{c^2}{a^2}y^2_0)=1$

$y^2_0=\dfrac{a^2b^2}{c^2}$

$y_0=\pm \dfrac{ab}{c}=\pm \dfrac{4}{3}\sqrt{7} \quad (-4 \leqslant x_0 \leqslant4)$

结论：点 $M$ 的轨迹方程为： $y=\pm \dfrac{4}{3}\sqrt{7} \quad (-4 \leqslant x \leqslant4)$ ，其轨迹是两条平行于 $x$ 轴的线段.

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