常微分方程的常见题型与解法

作者: Raow1 | 来源:发表于2020-08-13 23:10 被阅读0次

常见的常微分方程题型

1. 分类说明

由于题型种类与解题方法的多样性，此处的分类比较混乱。部分按方程的类型分类（如线性、非线性，齐次、非齐次），部分按解法分类（如可分离变量，可降阶），还有按其特定命名分类（如伯努利方程和欧拉方程）。

因此，需要特别说明的是，同一分支下的不同类别并不是严格互斥的。比如说：齐次方程，线性微分方程以及非线性微分方程处于同一级分支。但这并不意味着齐次方程既不是线性微分方程，也不是非线性微分方程。

如果我们依照阶数、常系数与变系数、齐次与非齐次、线性与非线性来进行分类。确实会让分类更为严谨，判断题型类别时候更加得心应手，但这有时候并不会让你更快的想到解题方法。比如说： $\text{[math]}$ 方程 $xy’-ylny=0$ ，按方程类型分类，应为一阶变系数非齐次非线性方程。这样描述你可能并不知道应该怎么求解，但是如果说它是可分离变量的微分方程，你马上就知道应该怎么做了。

2. 一阶微分方程

2.1 可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程是指可化为 $g(y)dy=f(x)dx$ 形式的微分方程，两边同时积分便可以求得结果。

2.2 齐次方程及可化为齐次的方程

2.2.1 齐次方程

如果一阶微分方程可化为 $\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\varphi (\frac{y}{x})$ 的形式，那么就称为齐次方程。

齐次方程的求解

齐次方程的一个重要特征是，每一项关于x、y的次数和是相等的。如 $x^2$ 、 $xy$ 、 $y^2$ 都是二次项， $x$ 、 $y$ 、 $\sqrt{x^2+y^2}$ 都可以看做一次项。因此，方程 $\frac{y}{y’}-x=\sqrt{x^2+y^2}$ 可以用求解齐次方程的方法进行求解。

2.2.2 可化为齐次的方程

可化为齐次的方程的求解

2.3 一阶线性微分方程

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的解法

值得注意的是 $e^{\int p(x)\mathrm d x}$ 与 $e^{-{\int p(x)\mathrm d x}}$ 一个没有负号，一个有负号。

2.4 伯努利方程

伯努利方程

3. 高阶微分方程

高阶微分方程是指二阶及二阶以上的微分方程。

3.1 可降阶的高阶微分方程

3.1.1 $y^{(n)}=f(x)$ 型微分方程

y^{(n)}=f(x)

型微分方程

3.1.2 $y’’=f(x,y’)$ 型的微分方程

y’’=f(x,y’)

型的微分方程

3.1.3 $y’’=f(y,y’)$ 型的微分方程

y’’=f(y,y’)

型的微分方程

容易注意到，可降阶的微分方程中缺少了部分元素。 $y^{(n)}=f(x)$ 型微分方程缺少了 $y$ 、 $y’$ 、 $y’’$ 、 $y^{(n-1)}$ 。 $y’’=f(x,y’)$ 型的微分方程缺少了 $y$ 。 $y’’=f(y,y’)$ 型的微分方程缺少了 $x$ 。也因此。后两种类型的微分方程在令 $y’=p$ 后，一个继续求对 $x$ 的导数，另一个则变为了求对 $y$ 的导数。

3.2 常系数齐次线性微分方程

形如 $y^{(n)}+a_{1} (x)y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1} (x)y’+a_{n} (x)y=0$ ，同时 $a_{n} (x)$ 均为常数的方程叫常系数齐次线性微分方程。

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

n阶常系数齐次线性微分方程求解方法

3.3 常系数非齐次线性微分方程

形如 $y^{(n)}+a_{1} (x)y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1} (x)y’+a_{n} (x)y=f(x)$ ，同时 $a_{n} (x)$ 均为常数的方程叫常系数非齐次线性微分方程。

3.3.1 $f(x)=e^{\lambda x}P_{m} (x)$ 型

f(x)=e^{\lambda x}P_{m} (x)

型

3.3.2 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]$ 型

f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]

型

3.3.3 一般类型

当 $f(x)$ 为一般类型的时候，可以使用常数变易法对其进行求解。如 $y’’-4y’+3y=\frac{2e^{3x}}{3e^x+1}$ 便可以使用常数变易法对其求解。

常数变易法

3.4 欧拉方程

欧拉方程

4. 常系数线性微分方程组

常系数线性微分方程组求解

注意，对于常系数线性微分方程组的一般题型，使用微分算子结合行列式解题比较容易。

5. 常微分方程的常见题型的解题思路总结

对于常规的题型来说，先判断其方程形式，然后按部就班的使用相应的解法即可得到结果。因此，需要对各个类型的求解方式了然于胸，没有什么捷径可走。

常微分方程的常见题型与解法

1. 分类说明

2. 一阶微分方程

2.1 可分离变量的微分方程