6. 向量空间

空间, 一个伟大的词汇. 什么是空间? 百度搜索这个问题, 我们得到的答案是: 空间是与时间相对的一种客观物质存在形式. 我们用数学一些的说法, 可以把空间理解为一个集合. 最常见的欧几里得空间, 就是有序实数元组的集合. 按照维度的不同, 欧几里得空间可以分为一维欧几里得空间, 二维欧几里得空间... 如(6, 66)属于二维欧几里得空间R^2. 如何理解R^2 ? 可以从两个视角理解: 一个是看作平面直角坐标系中点的集合; 另一个是看作起点为原点的向量的集合. n维欧几里得空间通常表示为R^n.

向量空间

顾名思义, 向量空间是由向量组成的集合(空间). 而且数学上对于空间中向量, 有着严格的要求, 要求满足十大定律, 其中的核心是满足加法和乘法的封闭性.

空间向量十大要求

我们可以通过具有代表性的欧几里得空间去理解这些法则. 但是R^n只是一种类型的向量空间. 向量空间这个概念有着更为广阔的定义.

矩阵空间 多项式空间

 甚至, 所有的某类函数也可以构成一个向量空间. 如y=x.

零空间

一个齐次线性方程组的所有解, 形成一个向量空间. 称这个空间为零空间(Null Space). 是不是很酷? 有种联想到黑洞...绝对零度的感觉...222...

看待零空间的三个的视角(思维独特):

1. 方程解的集合

2. A的每个行向量和这个空间中的每个向量点乘结果为0, 两者垂直(正交)

3. (还记得图形学中把矩阵看作是一种转换吗), 代表所有可以被矩阵转换到原点的向量的集合

子空间

子空间

四大子空间联系紧密. 行空间和列空间是看待矩阵的两个视角. 零空间与行空间正交. 左零空间与列空间正交. 

四大子空间

左零空间这个名字从何而来? 👇