二进制和精度

十进制转化为二进制

整数部分：110101 = 2⁵ + 2⁴ + 2² + 2⁰ = 32 + 16 + 4 + 1 = 53

小数部分：将前面的部分小数部分不断乘以2并记录整数部分，从小数点开始往右移动。

0.7 × 2 = 0.4 + 1
0.4 × 2 = 0.8 + 0
0.8 × 2 = 0.6 + 1
0.6 × 2 = 0.2 + 1
0.2 × 2 = 0.4 + 0
0.4 × 2 = 0.8 + 0
......
(0.7)₁₀ = (0.1011001100....)₂ = (0.1)₂

所以(53.7)₁₀ = (110101. (0.1))₂

二进制转化为十进制

整数部分

(10101)₂
1 × 2⁴ + 0 × 2³ ••• = (21)₁₀

小数部分(有限的以2为基的展开)
(0.1011)₂ = + +

实数的浮点表示

IEEE 754 标准包含了一组实数的二进制表示，一个浮点数字包含三部分：

• 符号( + - )
• 尾数(一串有效数字)
• 指数

浮点数的三种精度

标准化的IEEE浮点数表示为
+-1.bbbb...b * 2^p
b 的取值是0或者是1，p是一个M位的二进制数

当一个二进制数用一个标准浮点数表示的时候，它被称为左对齐。这意味着左边的一个数位1被平移到小数点的左边，平移通过指数的变化进行补偿。比如9对应的1001保存为
+1.001 * 2³

机器精度的取舍

机器精度对应的数字，记作ε_mach，它代表的是1和比1大的最小浮点数之间的距离，对于IEEE双精度浮点表示。
ε_mach = 2^-52

机器必须以某种方式对数字进行截断，并且在这个过程中仅仅引入较小的误差，称为截断。通过简单丢弃在末端之外的数位来实现，也就是说超过52位以后的数字直接被丢掉。

另外一种方式是舍入，具体是说在双精度浮点数字中，小数点右边的53位是一个重要的数位，是1 则52位加1,0，没有变化。

判断第 x 位状态是否开启（x 以 0 开始，下同）：
status & (1 << x) == 0 // bt ( bit test )
打开第 x 位
status |= 1 << x // bts ( bit test and set )
重置第 x 位
status &= ~(1 << x) // btr ( bit test and reset )
取反第 x 位
status ^= 1 << x // btc ( bit test and complement )