好几天没陪孩子做作业了，国庆长假已过去大半，该收收心了，毕竟期中考试就在不远处等着呢？
今天这道几何题同样是题干极短、图形极简：如图，△ABC中，AD是BC上的高，AB+BD=AC+CD，求证△ABC为等腰三角形。
如果我们学过了勾股定理，直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方，而RT△ABD和RT△ACD又共用一个直角边AD，就很容易得出一个等量关系：
AB2-BD2=AC2-CD2
这是一个完全平方差公式，转化后就是
（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD）
已知AB+BD=AC+CD
所以AB-BD=AC-CD
两个等式左侧和右侧分别相加，就会得到2AB=2AC
所以AB=AC，△ABC为等腰三角形。
可初二第一学期还没学到勾股定理，我们只能想办法用全等三角形的方法来证明。
我们还从已知AB+BD=AC+CD入手，分别延长DB、DC至E、F，使AB=BE，CF=AC，再分别连接AE和AF，形成图形二。
在RT△ADE和RT△ADF中
AD=AD
∠ADE=∠ADF
DE=DF
所以RT△ADE≌RT△ADF，AE=AF，∠E=∠F
为了书写方便，我们再给图中将用到的几个角标数字，如图三
∵AB=BE
∴∠E=∠1=∠2
∵AC=CF
∴∠F=∠3=∠4
∵∠E=∠F
∴∠1=∠2=∠3=∠4
在△ABE和△ACF中
∠1=∠3
AE=AF
∠2=∠4
所以△ABE≌△ACF，AB=AC
所以，△ABC为等腰三角形
难度说大不大，说小不小，关键就在于截长补短的运用。
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