案例二：剩之愈小，割之弥细——“小数除法”单元学习主题教学
小数除法是小学数学的常规教学内容，是小学数学的核心内容之一。从数的扩充角度看，小数既吸收了自然数十进制的优势，同时也兼具了分数等分的思想，因此，它可以被看作一类特殊的分数，也可以被看作自然数的继续细分与扩展；小数除法的算理与加法和减法有相似之处，都是对计数单位的累加、减少或细分。但在计算乘除法时，都有一个计数单位再确定的过程，因此，乘除法较之加减法更难，学生学习时表现出更大的差异。
研究小数除法单元对于自然数、小数等数的运算有很好的迁移和借鉴作用我们从运算对象、运算意义、算理与算法、计算应用四个维度对运算能力进行了梳理。运算对象——数，或源于生活，或人为定义；运算意义——数与数之间定义的某种关系，即运算；算理与算法——一切运算都是有道理的，这种道理有时源自生活，有时则来自数学内部的相容；计算应用——运算，最终要回归生活，解决问题是目的。
自然数是人们对周围事物数量多少和位置顺序的刻画，其本质是一一对应的。小数是十进制计数向相反方向延伸的结果，这种延伸源于生活中计量的需要，并非分数的附庸。分数体现的是分实物的度量以及除法运算的封闭性。
“算理与算法”是贯穿整个运算能力始终的。因此我们在培养学生运算能力的核心素养时，聚焦运算的算理与算法，并要以此为立足点。
单元学习目标的确定，第一步是要对单元内容进行整体分析。首先，横向梳理教材，把握来龙去脉；其次是进行横向梳理，凸显核心本质。第一，从计量走向计数，以计量单位的转换支撑计数单位的转换。史宁中教授认为：数量关系的本质是多少，数的关系的本质是大小，数是对数量的抽象。数量是现实生活中的事物量，看得见摸得着，而数却是抽象的存在。因此用于衡量数量多少的计量单位是也是具体的，如1元、1米等，而用于计数的计数单位却更加抽象，因为它隐藏在位置里面。因此，要赋予计数单位一个实物原型的支撑，如1元对应于1，那么1角对应于0.1。第二，借助直观模型理解算理，以直观模型促进学生感悟位值思想。直观模型可以是实物模型，也可以是数线模型，还有面积模型等等。
单元学习目标的确定，第二步是要分析学情。为了更好地发现学生的思维节点，对比直观模型的价值和有效性，可以进行前测调研。在调研中发现学生的思维难点在哪里，以此作为我们后期设计教学目标的依据。
单元学习目标确定的第三步是学习内容本质的分析。对于小数除法的核心本质，有如下的思考：一、从运算对象——小数意义的角度看，小数既是特殊的十进分数，同时在数的表示上又与自然数相同。二、从运算意义——除法意义的角度看，将除数是整数的小数除法理解为平均分更合理，除数是小数的小数除法则可以让学生更清楚的理解包含除法。三、从算理与算法——运算律的角度看，商不变的性质作为转化的保障，其本质就是计数单位的同步转换。因此，可以从除数是整数的小数除法入手，按平均分去理解小数除法，用计数单位细分的方式帮助学生理解算理。
反思✪ω✪
我们在数学教学中，更多的是强调如何才能让学生学得明白。怎么才能学得明白？教师要从教材中看到学生看不到的东西。除了知识以外，所渗透的更重要的东西是什么？那就是数学核心本质与要培养学生的核心素养。通过深度学习的研究发现，深度参与和思考主要要突出以下几点：
一、明确小数除法的算理，发展学生的运算能力。小数除法的算理，其实就是整数除法的算理，只不过随着物体分的过程中，单位的变小，计数单位的个数在增加。二者从意义上原本是一回事，所以小数除法的算理，对于学生并不复杂。但是不好理解的是，怎么能够让学生看到这样微小的单位分的过程中，而能够与前面的相关知识建立联系。例如第一课时中，计算到剩余的两元钱如何处理时，就是在引发冲突，强调“换”的环节。在这里，要让学生充分体会到换的必要性，换单位，主要是把单位换小，同时单位的数量会变多，学生形象的认为这就相当于把刚才的两元钱撕开了，这就是单位的细分，打破了学生整数除法中的固有思维，此处，也是和学生原来学习的有余数的除法一个最密切的衔接点。
二、借助直观模型理解算理，以计量单位的转换支撑计数单位的转换。课堂中，赋予小数除法一种现实背景，实际上就是赋予计数单位一个实物模型的支撑，如1元对应于1，11角对应于0.1，这也给了学生一个“换”的基础。小数除法的算理与整数除法的算理相同，由于学生在学习整数除法遇到个位不够分时，是当成余数来处理的，现在却要认为这种余数还可以继续分，这对于学生来说，就是一个认识的冲突和挑战。如何才能让学生打通整数除法和小数除法的算理？这就需要借助直观模型，通过分一分、摆一摆的过程来理解。之后学生的分，与竖式的沟通，更清晰的在学生的头脑中形成了除法竖式的表象。
三，问题解决模式下，积累活动经验。作为突破整数计数单位参与运算的第一次尝试和探索，把学生推向生活实际问题，设计了以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动，可以说是尊重知识、尊重学生主体地位的做法，学生产生了真切的感悟，体验了数学的应用，和便捷，积累了不可多得的活动经验，丰富和发展了，逻辑思维。
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