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2018-06-28 线代续(二)(行列式)

2018-06-28 线代续(二)(行列式)

作者: 请叫我魔法师 | 来源:发表于2018-06-28 08:40 被阅读0次

开篇大佬一句话真是醍醐灌顶,差一点打通任督二脉。

说得好.png

一、拉伸和压缩

线性变换是通过变换坐标系来实现的。变换后的空间跟原来的相比就不一样了,有的看着变大了,有的看着变小了,其实也就是看起来拉伸和压缩了。如图: 拉伸空间.png
压缩空间.png

那么如何得知跟原来相比,变化的比例呢?也就是拉伸多多少倍?压缩了多少倍?行列式就是干这个的。

二、面积变化

行列式.png

直观感受
可以看出行列式其实就是计算经过矩阵的线性变换后,得到的新空间和原来的空间的比例。结果用det(矩阵)来表示。
如果结果是负数,则表明这个空间发生了反转。

三、行列式的计算

矩阵【(a,b)(c,d)】行列式结果=ad-bc
1、最简单:假如b和c都是0,则i和j只在各自的方向发生了伸缩,由长1宽1的正方形变成长a宽d的长方形,结果就是ad-0*0=ad。


情况1.png

2、一个基向量只伸缩,另外一个随意变化,这个种情况下,就变成了平行四边形,结果如下


情况2.png
3、最具代表性:每个基向量都是随便变化位置,导致不在原来的方向,变化后的平行四边形跑到了别的地方,这种情况还是可以通过各个小图形计算出结果的。最终还是表达式ad-bc
情况3.png
4、同理,3行3列的行列式,代表三维空间的变化后的倍数。二维平面计算平行四边形的面积,那三维空间就是计算平行六面体的体积了,这个有点复杂,没学过,不会计算了。不过,这就是行列式的几何意义了。
3行3列行列式.png

5、矩阵相乘后求行列式=各个矩阵的行列式相乘


矩阵乘法和行列式乘法.png

代数计算肯定能计算出结果,没啥说的。
行列式相乘:表示经过两次线性变换,第一次变化m,第二次变化n,mn就是最终的变化倍数。
两个矩阵相乘,表示经过两次线性变换,再求行列式:结果就是最终的变化倍数。
落脚点都是最终的变化结果,这么解释,感觉没啥错,哈哈。

  中意的姑娘,找个理由让她请我喝杯咖啡,我请她也行,反正就是出来约一下了。这个话题都没法进行下去,哎。凉了,凉透了。透心凉,心飞扬。

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