二阶行列式
一般来说,我们解二元方程组采用的都是消元法,简单来说,就是先想办法消除一个未知数,然后求解出另一未知数,最后在反过来求剩下的未知数。
求得方程组解为:
我们先把方程组未知数对应的4个系数摘下来,如下排列:
表达式称为二阶行列式,并记作:
二阶行列式可以用对角线法则来记忆:到的线称为主对角线,到的线则是副对角线。于是,二阶行列式就是主对角线元素之积减去副对角线元素之积得到的差。
接下来,我们可以这样来求解二元线性方程组:
先求系数确定的二阶行列式:D=
然后,可以直接求得方程组两解:
# R
# 创建一个2*2矩阵,然后计算其行列式
>my_matrix <- matrix(1:4,2,2)
>print(my_matrix)
[,1] [,2]
[1,] 1 3
[2,] 2 4
>det(my_matrix) #内置函数,计算行列式
[1] -2
#python
>>>import numpy as np
>>>my_matrix = np.array([[1,2],[3,4]])
>>>print(my_matrix)
[[1 2]
[3 4]]
>>>np.linalg.det(my_matrix) #调用函数来计算行列式
-2
三阶行列式
当然,有二阶自然有三阶,通常用的都是二阶行列式或三阶行列式,更高维的则较少使用。
这里,对角线法则相对复杂,如图
线代书原话是这么解释:
图中有三条实线看做是平行于主对角线的连线,三条虚线看做是平行于副对角线的连线,实线上三元素的乘积冠正号,虚线上三元素的乘积冠负号.
全排列
何为全排列?也称为排列,就是把n个不同元素排成一列。对于n个元素,我们可以规定一个标准次序(一般是从小到大)。
对任意一个排列次数,如果某一对元素的先后次序与标准次序不同时,则构成1个逆序,那么,一个排列中所有逆序的总和称为此排列的逆序数。
奇排列:逆序数为奇数的排列
偶排列:逆序数为偶数的排列
线代书例题如图所示:
对换
将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的操作叫对换。
将相邻元素对调的,称为相邻对换
- 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。
- 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。
n阶行列式的定义
学了逆序数这个概念,我们再来看看三阶行列式的求法。
=
这里的t代表的是这个排列的逆序数,所以正负号的选择与逆序数的奇偶有关。
推广到n阶行列式:有个数,排成n行n列
==det()
上(下)三角形行列式:主对角线以下(上)的元素都为0
对角行列式:主对角线以上和以下的元素都为0。
==
行列式的性质
转置行列式: =
-
行列式与它的转置行列式相等: =
-
对换行列式的两行(列),行列式变号如果行列式两行(列)完全相同,则此行列式等于零
- 对换i,j两行,记作:
- 对换i,j两列,记作:
-
行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数k,等于用数k乘此行列式:第i行(列)乘k,记作 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.
-
行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零
-
若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第i行的元素都是两数之和
- 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。
行列式按行(列)展开
一般而言,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,所以我们考虑怎样用低阶行列式来表示高阶行列式。先了解何为余子式和代数余子式。假设有下面这个行列式,然后拿走所在的行和列,得到新的行列式,这个新的行列式称为的余子式,记作。
再给余子式加上,即代数余子式=
一个n 阶行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)元外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即
有这么一个重要定理(行列式按行(列)展开法则):行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
此外,还有一个推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
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