(sinx)^n+(cosx)^n 的值域

今天看到「善科题库」发了一条微博，求函数 f(x) =\sin^6 x+\cos^6 x 的值域 ​​​​。

这个题目当然是很简单的，高中套路题，算一下 就好啦，无聊的我居然真的拿笔算了一下，答案是 。

然后我又想着用 Mathematica 算一下指数是其他数时的情况，发现这个是有规律的啊，

观察可以发现，对于 ，当 时值域是 ，当 时要看 的奇偶性，当 是奇数时值域一直是 ，当 是偶数时值域是 。为了表达的美观性，可以记 为偶数时 ， 的值域是 。

观察到了结论，想一想怎么说明它吧，试了试也不是很难。

时是很熟悉的

当 时，

等号可以取到，比如 时。所以 时 的最大值就是 。

• 时，考虑到 在 上是一个下凸函数，有
  

  当 时取到最小值；

• 为大于的奇数时，
  

  等号可以取到，比如 时。

考虑函数的连续性，到这里就完成说明了，可以确定 的值域正如前面观察到的那样。

参考：

• Finding range of values of trigonometric function - Mathematics Stack Exchange