斐波那契数里的一个恒等式

今天「善科题库」发了一篇微博是和斐波那契数有关的，斐波那契数列具备如下优美的性质，你会证明吗？ ​​​​。

这里的 就是斐波那契数，由 定义。即 就是 。

这里要证明的就是

我以前读组合数学的书的时候是见过这种式子的，哈哈哈。有一个矩阵的次方里的元素刚好都是斐波那契数，设 ，那么会发现 。
这个是不难用数学归纳法证明的 。然后利用 ，对比两边右下角的元素就得到了

另外如果我们把刚才的指数换成 ，那么可以得到一个更一般的恒等式，

这个公式可以将比较大的 对应的 化成较小的斐波那契数，方便计算。