美文网首页一些问题
斐波那契数里的一个恒等式

斐波那契数里的一个恒等式

作者: 秋天静如水 | 来源:发表于2020-03-22 15:33 被阅读0次

今天「善科题库」发了一篇微博是和斐波那契数有关的，斐波那契数列具备如下优美的性质，你会证明吗？ ​​​​。

这里的 F_n 就是斐波那契数，由 F_1 = 1,F_2 = 1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} 定义。即 \{F_n\} 就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots 。

这里要证明的就是
F_{2n+1} = F_{n}^2+F_{n+1}^2

我以前读组合数学的书的时候是见过这种式子的，哈哈哈。有一个矩阵的次方里的元素刚好都是斐波那契数，设 M = \begin{bmatrix} 0 &1\\ 1 &1 \end{bmatrix} ，那么会发现 M^n = \begin{bmatrix} F_{n-1} &F_{n}\\ F_{n} &F_{n+1} \end{bmatrix} 。
这个是不难用数学归纳法证明的 。然后利用 M^{2n} = M^n \cdot M^n ，对比两边右下角的元素就得到了
F_{2n+1} = F_{n}^2+F_{n+1}^2

另外如果我们把刚才的指数换成 m+n ，那么可以得到一个更一般的恒等式，

F_{m+n+1} = F_{m} F_{n}+F_{m+1} F_{n+1}

这个公式可以将比较大的 n 对应的 F_n 化成较小的斐波那契数，方便计算。

相关文章

  • Python实现斐波那契数列

    什么是斐波那契数 斐波那契数，亦称之为斐波那契数列（意大利语： Successione di Fibonacci)...

  • 求斐波那契数，你还在用递归吗？

    1、什么是斐波那契数？ 斐波那契数，又称黄金分割数列、因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibon...

  • 「算法」斐波那契数 & 反转字符串

    00509 斐波那契数 题目描述 斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和...

  • LeetCode-509. 斐波那契数

    509. 斐波那契数 斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，...

  • 力扣（LeetCode）题解 （C语言）509. 斐波那契数

    509. 斐波那契数 题目： 斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1...

  • Go 实现斐波那契数列

    斐波那契数列 斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。现通过一个递归函数，输入 x，...

  • 10:斐波那契数列

    题目10：斐波那契数列 斐波那契数，亦称之为斐波那契数列（意大利语： Successione di Fibonac...

  • Code Snip

    斐波那契数

  • 剑指Offer（七）

    剑指Offer（七） 斐波那契数列 题目描述： 大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数...

  • 面试题10：斐波那契数列

    题目描述： 大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。 解题思路： 斐波那契数...

网友评论

    本文标题：斐波那契数里的一个恒等式

    本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/hzytyhtx.html

    延伸阅读

    深度阅读

    • 您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

    栏目导航

    热点阅读

    一些问题

    关于我们|服务条款|联系我们|斐波那契数里的一个恒等式|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

    提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

    Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网 版权所有

    备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

    本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

    所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！