三角形中的欧拉定理

作者: 秋天静如水 | 来源:发表于2020-03-16 18:17 被阅读0次

三角形中的欧拉定理是指：

三角形的外心与内心之间的距离 $d$ 与外接圆半径 $R$ 和内切圆半径 $r$ 之间有如下关系
$d^2=R(R-2r)$

这个定理我在中学时见过，可是并不会证明，还记得有那个「欧拉线」吧，感觉自己也证明不来，就没有去理会这个问题了。

今天善科题库发了一条微博就是关于这个的，倒是想让我去读一读是怎么证明的。

证明：

我参考的证明来自 Euler Triangle Formula - ProofWiki ，示意图如下：

欧拉定理

在图中外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，两圆心距离 $IO = d$ 。
由相交弦定理得 $GI \cdot IJ = IP \cdot CI$ ，

$\angle PIB = \angle ICB + \angle CBI = \dfrac{1}{2} \angle ACB + \dfrac{1}{2} \angle ABC \,$ ，
弧 $AP$ 所对的两个圆周角相等，所以 $\angle ABP = \angle ACP = \dfrac{1}{2} \angle ACB$ ，
所以 $\angle PBI = \angle IBA + \angle ABP = \dfrac{1}{2} \angle ABC + \dfrac{1}{2} \angle ACB \$ ，
所以 $\angle PIB = \angle PBI$ ，得到 $PI = PB$ 。

所以前面得到的等式变成了 $GI \cdot IJ = PB \cdot CI$ ，
这里 $GI = R-d,\,IJ = R+d$ ，它们相乘等于 $R^2-d^2$ ，对比要证明的等式得知我们接下来要说明 $PB \cdot CI = 2Rr$ 。

利用一些三角函数的知识进行转换，由正弦定理知道 $\dfrac{PB}{ \sin \angle PCB} = 2R$ ，即 $PB = 2R \sin \angle PCB$ ，
在 $\text{Rt} \triangle ICF$ 中有 $CI = \dfrac{IF}{\sin \angle ICF} = \dfrac{r}{\sin \angle PCB}$ ，
所以 $PB \cdot CI = 2Rr$ ，
所以 $R^2-d^2 = 2Rr$ ，
这就得到了我们要证明的 $d^2=R(R-2r)$ 。

以前经常做几何题的时光还是在初中，一晃已经有十年之久，这十年我有什么变化吗，下一个十年我在哪呢？

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