古希腊哲人曾经做过这样的实验，请一个小奴隶，他根本不识字没什么文化，但是可以给这个小奴隶讲几何学的一条公理。一旦跟他讲了，他也立刻就明白了，这是不需要知识积累的，他只要有一个正常的理性的头脑，就能够确认几何学的公理，他一听就懂。毕达哥拉斯学派把数学同时看成哲学的思想内容，他等于在告诉我们，几何学是一门纯粹理性的学问。
什么叫纯粹理性，就是指里面没有任何感觉材料，这一步就把感性和理性分开了，可知的世界属于理性所把握的世界，可感的世界是我们的感官所感觉到的世界。世界的最初的区分就来了。两当我们进入几何学思考，我们就进入一个超感性的世界，它是个可知的世界。
几何学家讨论三角形，比方说给出了三角形的公理定理和推论，比方说有一条三角形的定理是这么说的，三角形三内角之和等于 180度，这是从三角形的公理里边推出来的。三条折线围成一个闭合的空间，它们的数量关系一定是严格被确定的东西。形成一个闭合空间，我们称之为三角形。这件事情不要用实验来做，是理性自己推论出来的。
所以几何学家在讨论三角形的性质、三角形的公理和定理的时候，根本不在乎世界上有没有三角形的事物，世界上如果没有三角形的数，几何学家照样讨论三角形，而一旦宇宙中真出现了三角形的事物，这些事物一定符合关于三角形的所有讨论。
几何学的命题公理，它的定理和推论，并不是大量感性经验概括和总结出来的。倘若是这样的话，几何学就成了经验科学了。我们必定要别把事情这样倒过来想。我们不要以为几何学建立在大量的对数量关系和空间关系的观察和实验的基础上，不是这样的。几何学可以讨论我们没有看到过的事物，讨论他们的位置关系，数量关系。一旦有了这样的事物，就一定符合几何学和数学对他们的所有讨论。于是我们要问：一个可感世界，一个可知世界，谁在规定谁？是可感世界规定可知世界，还是可知世界规范了可感世界，这个思想对我们确实是一个冲击。
我们中国人大概从初中开始就要学一点哲学了，教科书中的哲学一定跟我们要讲认识论的了。认识论是怎么讲的？人的认识区分了两个阶段，感性认识阶段和理性认识阶段。从感性认识上升到理性认识，完成了一次飞跃。这给我们一个很强烈的印象，认识从是从感性经验出发，慢慢上升到抽象的理论。如果拿这一点来看几何，事情就不是这样。感性认识要被称为认识，并不是单纯的感觉状态，感性认识中一定包含被理性规范的感觉材料，如果没有理性的规范，那个可感的感觉材料并不能被称为认识。这样看来，哲学的学习是一件非常有意思的事情，就是打破我们对事物的常识理解。比方说几何学中的球体，这个观念是不是来自我们观察到大量的球状物才概括出球体来。在大量的感觉知觉的基础上，几何学获得了一个球体的观念。我们通常会这么想，如果我们这样想，我们正好想颠倒了。
当我们的感官在感知不同的形状的事物的时候，我们的感知里边已经包含了一个认识的形式，这叫球体。正因为我们有这样一个球体的认识形式，我们才把某一类事物归为球类。我们会把足球、橘子、苹果等等归为一类，称之为球类。因为我们心中本有纯粹的球，我们才会把它们看成一类的。并不是有无数的球状物让我们产生纯粹的球体，而是我们心中本有纯粹的球体，才把它们归为球类。这样我们就进入了西方哲学的基本修养，一个非常古老的哲学学派，毕达哥拉斯学派的宇宙观，我们现在来讨论这样3个判断，并且看一看他们之间的相互关系。
第一个判断是，这是一个方桌，方桌就是方的桌子。第二个判断，凡是方的事物必有四只角，一定有四个直角。第3个判断，凡是为方，在于有四直角。这3个判断。第一个判断无疑是一个个别判断对某一个事物所做的判断，这是一个方桌。第二个判断说凡方的事物必有4只角，我们可以把这样的判断称为全称判断，把这个世界上所有方的事物都网罗进来了。
我们再来看第3个判断，方之为方在于有四个致角，这个判断既不是个别的判断，也不是普遍的全称判断。为什么？因为他没有指向任何事物，他只讨论方性本身方式。方之为方在于有四只角，这个判断跟前面两个判断的不同之处在哪里？前面两个判断都指向实际存在的事物。
第一个判断指向一个个别存在的事物。第二个判断指向所有方的事物，一句话指向实际存在的东西。第三个判断，它不指向这个世界上的任何事物，它只讨论方之为方，或者说只讨论方性本身。这个判断属于几何学判断。前面两个判断是实际的经验判断。第3个判断跟世界上存在或者不存在刚的东西没关系，几何学的判断就是这样的判断。
我们现在来讨论一下这三个判断之间的关系，谁依赖谁。按照我们以前学过的哲学教科书中的哲学认识论，应该说第二个判断依赖于第一个判断。
我们先要有大量的关于个别事物的判断，我们才会有第二个判断。所有方的事物必有事直角，这就是说第二个判断依赖于第一个判断。那么第3个判断情况怎么样？第三个判断又依赖于第二个判断。凡方的事物，把事物拿掉那就是方之为方了。我们以往恐怕是这样想这三个判断之间的关系的，当我们这样想的时候，正把事情想颠倒了。倘若我们心中没有纯粹的方的观念，也就是对方性本身的观念，我们如何可能把世界上的事物区分出一类叫方的事物？假如我们不能区分出一类方的事物，我们又怎么可能把这个别的事物判断为方桌呢？事情的真相究竟是什么？事情的真相是第三个判断，是第二个判断的前提，第二个判断是第一个判断的前提。在这里我们恐怕遇到了困难，遇到了理解上的巨大困难。这是哲学学习中的正常现象，也就是要打破常识框架。
各位恐怕一定会问第三个判断，也就是方之为方必有四只角。我们心中怎么会有对方性的领会的？这种对方性的领会又来自哪里？这样的追问是正常的，我们说方性不是来自对方的事物的大量观察的结果。我们能观察到方的事物不同于圆的事物，是我们心中已经有方形和圆形的区分量。
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