八年级几何天天练：利用角平分线解决问题

角平分线是八年级几何一个重要的知识点，主要包括两个方面的内容。一是角平分线的性质：角平分线上的点到该角两边的距离相等。二是角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

了解完角平分线的性质和判定后，我们一起来分析一道题。

如图一，已知∠MON=α（00<α<900），OP是∠MON的平分线，A、B分别在OP、OM上，且AB//ON，以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON上取一点D，使得∠BAD=1800-α。

（1）①依题意补全图形；②求证：OC=OD+AD；

（2）连接CD，若CD=OD，求α的度数。

依题意补全图形得到图二。

∵AB∥ON

∴∠MON=∠ABC=α，∠MON+∠ABO=∠BAD+∠ADO=1800

∵∠BAD=1800-α

∴∠MON=∠ADO=α，四边形ABOD为等腰梯形，AB=AD。

∵OP是∠MON的平分线

∴∠AOB=∠AOD=½α，

∵∠ABC=∠AOB+∠OAB

∴∠AOB=∠BAO=½α，AB=OB=AD

∵AO=AC

∴∠AOB=∠ACO=½α

在△AOD和△ACB中

∵∠AOD=∠ACO=½α，∠ADO=∠ABC=α，AO=AC

∴△ADO≌△ABC（AAS）

∴BC=OD，

∴OC=OB+BC=OD+AD

第一问证明完后，我们再连接CD，

∵CD=OD

∴∠MON=∠OCD=α

∵∠ACO=½α

∴CA平分∠OCD。

过点A分别作AE、AF、AG垂直OC、OD和CD，如图三

∵OP是∠MON的平分线，CA平分∠OCD

∴AE=AF ，AE=AG（角平分线性质）

∴AG=AF

∴DA平分∠ODC（角平分线的判定）

∴∠ODA=∠CDA=α

在△CDO，∠MON=∠OCD=α，∠ODC=∠CDA+∠ODA =2α

∴α=1800÷4=450

证明完毕。