前面讨论的最优化问题是将目标函数限定在具有单一选择变量的框架内。本篇将研究多个选择变量目标函数的相对极值方法。只要这样，才能解决比如多产品厂商利润最大化的决策问题。

为了利用目标函数的图形，首先讨论含两个选择变量的目标函数z=f(x,y)的情况。然后再将分析结果推广至难以作图的n个变量的情况。此外我们假定目标函数总具有连续的至任意所需阶数的偏导数。这一假定将保证目标函数及其偏导数的平滑性和可微性。

同样地，我们在这里主要把注意力放在“相对极值”上。

一、最优化条件的微分形式

1.一阶条件

一阶条件
一阶导数条件f'(x)=0可以转化为一阶微分条件“对于任意非零的dx,dz=0”，同时仍需注意该微分条件是极值的必要条件。

2.二阶条件

二阶条件 二阶条件

到目前为止，我们已经证明了以dz和d²z来表示导数形式的一阶条件和二阶条件的可行性。可能有人会问“在导数条件已经适用的情况下，为什么找们还要推出 一套微分条件呢?”。答案是，**微分条件是以这样一种形式表述的:它可以直接从单变量的情况推广至两个或两个以上变量的情况，而导数形式则不能作这种推广 。 **

二、双变量函数的极值

1.一阶条件

一阶条件

同样地，一阶条件是极值存在的必要条件，而不是充分条件。

反例

如图中的C点，T_x和T_y的斜率均为零，但该点并不是合格的极值点：以yz平面为背景看，它是一个极小值；而以xz平面为背景看，它又是一个极大值，这种具有“双重人格”的点，被称为鞍点。

2.二阶条件

二阶偏导数

根据杨氏定理，只要两个交叉偏导数是连续的，则二者是相等的。对于我们所研究的一般类型的具体函数，连续性条件通常是满足的。

二阶全微分 二阶条件1
二阶条件2 总结

关于二次型，主要是引入海塞行列式知识，详见：
最优化问题09|海塞行列式