向量空间的定义

作者: Obj_Arr | 来源:发表于2020-11-16 15:44 被阅读0次

向量空间
Deep Learning - 第二章-线性代数重要知识点复习-
向量空间的定义
2019-04-25
空间解析几何(向量)
向量空间
第7课求解AX=0,主变量，特解
行观点
人工智能学习笔记-Day12
单射（列满秩）

一个向量空间包括三块，基础集，两种二元运算，加法，标量乘。

$+：R^n\times R^n\rightarrow R^n\\ *:R\times R^n\rightarrow R^n$

暂且用实数域的符号表示，比较熟悉。

然后还必须满足一些性质，基础集关于加法运算构成阿贝尔群，基础集关于标量乘构成一个左作用。结合起来就是向量空间是标量域的R-Mod。也称之为左模。

环上的模，就是抽象代数结构环上定义的另一种代数结构，环上的典型的阿贝尔群就是环上的加法子群。

左作用，更像是函数作用，要求满足结合性，关于加法的两种分配律，最后是恒等作用。对应着就像函数的复合运算，恒等映射。所以称之为作用。就像函数作用于数一样。

于是，向量空间定义就得到了极大的简化。从八条性质，变为了两条陈述。

关于加法构成阿贝尔群意味着

$x+y=y+x\\x+y+z=x+(y+z)\\\exists 0,x+0=x\\\exists -x,x+(-x)=0$

标量乘相当于左作用意味着

$\exists 1,1x=x\\\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x\\\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y\\(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$

这样就容易记了。

向量空间往往用这个符号表示 $R^{\oplus n}=R\oplus ...\oplus R$ ，说明是由n个R生成的。

这里可以联想到张量空间 $V^\ast \otimes ...\otimes V^\ast\otimes V\otimes ...\otimes V$ ，由向量空间和对偶向量空间生成，张量积符号是非交换的，所以往往不能缩写，这里为了方便，没有写成交错项。

其实他们区别也不大，基底分别是

$e^1...e^n$

$dx^\mu ... dx^\nu \frac{\partial}{\partial x^\sigma }...\frac{\partial}{\partial x^\tau }$

向量空间由标量域生成，张量空间由向量空间生成，都是一种结构的扩张，尽管如此，他们还都是向量空间，仅仅是维数提高了。当然，对于附加的结构也会体现一些新的性质。抓住向量空间这一主线的话，张量就容易理解了，不至于深陷于各种指标与符号，结果忽视了他的本质。张量不过是一个维数很高的向量，张量的分量也只是他的坐标，每个分量对应一个基底，分量的相等就代表张量的相等。各种人为定义的运算目的或者在于简化符号，避免公式太长，或者是简化计算，省去不必要的分量计算。