怎么求含参数的函数的单调区间？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-07-19 10:45 被阅读0次

怎么求含参数的函数的单调区间？
2019-03-01
数学导数部分解题
怎么利用导数求已知函数的单调区间？
高考数学，导数大题极值问题，重要题型不要错过
高中数学题型三（已知函数单调性，求参数范围）
求单调区间
0020
怎么求三角函数的单调区间
指数函数：2012年文数全国卷题21

求含参数的函数的单调区间

使用情景：函数的解析式中含有参数

解题步骤：

第一步求出函数 $f(x)$ 的定义域并求出函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ ；

第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数 $f'(x)$ 按照给定的区间大于0或小于0；

第三步求出不同情况下的极值点进而判断其单调区间.

例2 已知函数 $f(x)=x^3+\dfrac{3}{2}(a-1)x^2-3ax+1,a \in \mathbb{R}$ ．讨论函数 $f(x)$ 的单调区间.

【解析】

$f'(x)=3x^2+3(a-1)x-3a=3(x-1)(x+a)$ ，

令 $f’(x)=0$ 得 $x_1=1,x_2=-a$

①当 $-a=1$ ，即 $a=-1$ 时，

$f'(x)=3(x-1)^2 \geqslant 0$ ，

$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增.

②当 $-a<1$ ，即 $a>-1$ 时，

当 $x<-a$ 或 $x>1$ 时， $f'(x)>0$ ， $f(x)$ 在 $(-\infty ,-a)$ 和 $(1,+\infty)$ 内单调递增；

当 $-a<x<1$ 时， $f'(x)<0$ ， $f(x)$ 在 $(-a,1)$ 内单调递减.

③当 $-a>1$ ，即 $a<-1$ 时，

当 $x<1$ 或 $x>-a$ 时， $f'(x)>0$ ， $f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 和 $(-a,+\infty)$ 内单调递增；

当 $1<x<-a$ 时， $f'(x)<0$ ， $f(x)$ 在 $(1,-a)$ 内单调递减.

综上，

当 $a<-1$ 时， $f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 和 $(-a,+\infty)$ 内单调递增，在 $(1,-a)$ 内单调递减；

当 $a=-1$ 时， $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增；

当 $a>-1$ 时， $f(x)$ 在 $(-\infty ,-a)$ 和 $(1,+\infty)$ 内单调递增，在 $(-a,1)$ 内单调递减.

【总结】解决含参数的函数的单调区间的关键是正确地讨论 $1$ 与 $a$ 的大小关系，并正确地判断导数的符号，进而确定函数的单调区间.

怎么求含参数的函数的单调区间？
使用情景：函数的解析式中含有参数解题步骤：第一步求出函数的定义域并求出函数的导函数；第二步讨论参数的...
2019-03-01
高考数学，导数，求函数单调区间的通用解法，三种重要题型高考数学，导数，求函数单调区间的通用解法，三种重要题型；主...
数学导数部分解题
求单调性步骤含参数的函数求单调性这种情况一般需要进行讨论常用步骤1.求导 2.看定义域 3.分情况讨论单调
怎么利用导数求已知函数的单调区间？
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而...
高考数学，导数大题极值问题，重要题型不要错过
考察内容：1、复杂表达式的函数的导数计算；2、求函数单调区间的通用解法；3、函数在某个区间有极值的含义。利用导数...
高中数学题型三（已知函数单调性，求参数范围）
对于“已知函数的单调性，求参数范围”这一题型，很多学生的固定思维是”通过导数建立不等式”，从而忽略了“子区间”这种...
求单调区间
类型一不含参型之直接型与二次求导型类型二含参型
0020
题目1 已知函数( a 为常数 ) 与 x 轴有唯一的公关点 A . (1 ) 求函数的单调区间 ; (2) 曲...
怎么求三角函数的单调区间
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容...
指数函数：2012年文数全国卷题21
指数函数：2012年文数全国卷题21 设函数 . （Ⅰ ）求的单调区间; （Ⅱ）若，为整数，且当时，，...