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指数函数：2012年文数全国卷题21

指数函数：2012年文数全国卷题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-26 14:27 被阅读0次

指数函数：2012年文数全国卷题21

设函数 f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-2.

（Ⅰ ）求 f(x) 的单调区间;

（Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x \gt 0 时，(x-k)f'(x)+x+1 \gt 0，求 k 的最大值.

【解答问题Ⅰ】

函数 f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-2 的定义域为：(-\infty, +\infty).

f'(x)=e^x-a

(1) 若 a \leqslant 0, 则 f'(x) \gt 0; 函数 f(x)在 (-\infty, +\infty)上单调递增.

(2) 若，a \gt 0,

x \lt \ln a, \; f'(x) \gt 0, 函数 f(x) 单调递减；

x = \ln a, \; f'(x) = 0, 函数 f(x) 取得极小值；

x \gt \ln a, \; f'(x) \gt 0, 函数 f(x) 单调递增；

【解答问题Ⅱ】

若 a=1，则

f'(x)=e^x-1

(x-k)f'(x)+x+1 \gt 0 即：

(x-k)(e^x-1)+x+1 \gt 0

xe^x-ke^x+k+1 \gt 0

因为 e^x \gt 0, 上式等效于：

x-k + (k+1)e^{-x} \gt 0

记 g(x) = x-k + (k+1)e^{-x}

g'(x) = 1-(k+1)e^{-x}

g''(x_0) = (k+1)e^{-x}

若 g'(x_0)=0, 则 (k+1)e^{-x_0}=1

e^{x_0} = k+1

x_0 = \ln (k+1)

g(x_0) = \ln (k+1) -k +1

g(x_0) \gt 0 等价于：\ln(k+1) \gt (k-1)

又等价于：(k+1) -e^{k-1} \gt 0

记 h(k) = (k+1) -e^{k-1}

h'(k)=1-e^{k-1}

h(1)=1 \gt 0

h(2)=3-e \gt 0

h(3) = 4-e^3 \lt 0

当 k \geqslant 2,\; h'(k) \lt 0, 函数单调递减；

综上可知： k 的最大值为2.

【提炼与提高】

本题第1问用导函数讨论函数的单调性，是很基本的问题。

本题第2问的解答中，应用了转化的策略。首先，应用转化策略，将一个较为复杂的不等式转化为一个等价的不等式：

xe^x-ke^x+k+1 \gt 0 \Leftrightarrow\; x-k + (k+1)e^{-x} \gt 0

针对这个不等式，构造一个函数 g(x) = x-k + (k+1)e^{-x}, 把问题转化为函数的最值问题.

之后，再构造函数 h(k) = (k+1) -e^{k-1}

问题转化、构造新函数这两种方法的应用，在本题中较为典型.

文科数学真题：函数与导数

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