对数函数与指数函数：2015年文数全国卷A题21

对数函数与指数函数：2015年文数全国卷A题21

设函数 .

（I）讨论 的导函数 零点的个数;

（Ⅱ）证明∶当 时，.

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【解答问题I】

的定义域为

, 定义域为

令

, 在 区间，,

所以，函数 在 上单调递增，其值域为

（1）若 ，则函数 没有零点，方程 无解，导函数 零点的个数为 0;

（2）若 ，则函数 有1个零点，方程 有1个解，导函数 零点的个数为 1;

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【解答问题Ⅱ】

根据前节讨论，当 时，导函数 存在1个零点.

记此零点为 , 则 ,

所以，. 证明完毕.

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【提炼与提高】

『方程与函数』

本题第1问是函数的零点问题。解答过程中应用了转化的思想：先把零点问题转化为方程问题；转化为另外一个函数的零点问题。

转化是高中数学的重要思想，本题是典范的实例。

『利用导函数讨论函数的单调性与零点个数』

这是导数部分的常见问题，要熟练掌握。在高考中，可能直接考查；还有可能间接考查。

『基本不等式』

若 ，则

基本不等式用途广泛，在所有版块的考题中都有可能用到。

『导函数的定义域』

导函数与原函数的关系，犹如“毛与皮”。俗话说：皮之不存：毛将焉附？导函数的定义域不能超出原函数的定义域。

『常用复合函数』

本题用到了以下函数：

这是高考中最常见的复合函数之一。对这类函数的性质，平时训练中就要多加留意，以免临场慌乱。

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