【行列式】8、逆序数与行列式

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-01-19 20:56 被阅读0次

逆序数与行列式.png

一、练习答案

$D=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ a_{1} &a_{2}&a_{3}&a_{4} \\ a_{1}^{2}&a_{2}^2&a_{3}^{2}&a_{4}^{2} \\ a_{1}^{4}&a_{2}^{4}&a_{3}^{4}&a_{4}^{4} \\ \end{array} \right| =?$

$D_{1}=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 &1 \\ a_{1} &a_{2}&a_{3}&a_{4} &a_{5} \\ a_{1}^{2}&a_{2}^2&a_{3}^{2}&a_{4}^{2}&a_{5}^{2} \\ a_{1}^{3}&a_{2}^{3}&a_{3}^{3}&a_{4}^{3} &a_{5}^{3} \\ a_{1}^{4}&a_{2}^{4}&a_{3}^{4}&a_{4}^{4}&a_{5}^{4} \\ \end{array} \right|$

这是一个范德蒙行列式，两种求法，求法不同，答案一致。一是按照范德蒙行列式的结果，从第二行入手，二是展开，这里最后一列展开， $a_{5}^{3}$ 的余子式是 $-D$ 即 $a_{5}^{3}$ 的系数是 $-D$ 。两种求法联系起来，即求出范德蒙结果，并从中找出 $a_{5}^{3}$ 的系数即可求出答案。

展开法（只写出一项展开）： $a_{5}^{3}(-1)^{9}D=-Da_{5}^{3}$

范德蒙求法：
$D_{1}=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})(a_{4}-a_{1})(a_{5}-a_{1})(a_{3}-a_{2})$
$(a_{4}-a_{2})(a_{5}-a_{2})(a_{4}-a_{3})(a_{5}-a_{3})(a_{5}-a_{4})$
将含有 $a_{5}$ 放前面
$=(a_{5}-a_{1})(a_{5}-a_{2})(a_{5}-a_{3})(a_{5}-a_{4})(a_{2}-a_{1})$
$(a_{3}-a_{1})(a_{4}-a_{1})(a_{3}-a_{2})(a_{4}-a_{2})(a_{4}-a_{3})$

所以 $a_{5}^{3}$ 的系数：
$-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})(a_{4}-a_{1})(a_{3}-a_{2})(a_{4}-a_{2})(a_{4}-a_{3})$

所以
$D=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})(a_{4}-a_{1})(a_{3}-a_{2})(a_{4}-a_{2})(a_{4}-a_{3})$

二、知识点

1、全排列

n个不同的元素排成一列，称为n个元素的全排列。
如：12345678，76532184，等等均为8个元素的全排列。
n个元素的全排列共有n！个。

2、逆序与逆序数

全排列123···n称为标准排列，此时元素之间的顺序称为标准顺序。在任一排列中，若某两个元素的顺序与标准顺序不同，就称这两个元素构成了一个逆序。
例：213中，2和1构成一个逆序。321中，1和2,1和3,2和3都构成逆序。

在一个排列中，逆序的总和称为逆序数。如213的逆序数为1，321的逆序数为3。

逆序数怎样求？？？
从第一个元素起，该元素前有几个数比它大，这个元素的逆序就是几。将所有元素的逆序相加，即得到排列的逆序数。

排列： 321
逆序数：0+1+2=3

例：求全排列135…（2n-1）24…（2n）逆序数。
解：1，3，5，···（2n-1）不构成逆序.
2前面有n-1个数比它大，故有n-1个逆序.
4前面有n-2个数比它大，故有n-2个逆序.
依次下去，2n前面没有数比它大，故没有逆序.
将所有元素的逆序相加，得逆序数：
1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）/2

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。如：
在3个元素的全排列中：
123，231，312为偶排列，逆序数分别为0，2，2.
132，213，321为奇排列，逆序数分别为1，1，3.
？：两个数对调，奇偶排列发生转化
？：奇偶排列各占一半

3、对换

在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素不变，即得到一个新排列，这样一种变换称为对换。

对换有两个性质：
1.任意一个排列经一次对换后改变奇偶性.
2.在n个元素的全排列中，奇偶排列各占一半，为n!/2.
(当n>=2时，n!一定为偶数)

性质1的证明：
对换有两种,一种相邻，一种不相邻.

相邻对换
---ab---
---ba---

若a比b大，对换后则逆序数减少一个，其余不变，所以全排列就会奇变偶，或偶变奇。若a比b小，对换后则逆序数增加一个，其余不变，所以全排列就会奇变偶，或偶变奇。

不相邻对换，假设中间隔着L个元素
---a---b---
---b---a---

a与后面的一个个对换，对换到b后面，因为还要和b对换，所以需对换L+1次，a对换结束后，b再一个一个对换到前面，需要对换L次。所以总共对换2L+1次，相邻对换一次，奇偶变一次，2L会抵消对换，1才起作用，所以变一次，即奇变偶，或偶变奇。

2L为什么会抵消变化？
两种形式，奇排列和偶排列，变一次即奇变偶或偶变奇，性质发生变化，变两次即奇变偶，偶再变奇，性质不变，所以偶数次变化会抵消变化，性质不变，奇数次变化会改变性质，2L为偶数。

性质2的证明：
假设n个元素的全排列中，有p个奇排列，有q个偶排列。把p个奇排列变化一次，变为偶排列，此时变化得到的偶排列还是属于全排列中的，所以得出p<=q，同理可证q<=p，结合两者得p=q，所以在全排列中奇偶排列各占一半。

4、行列式的定义

$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \\ \end{array} \right|$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}$
$-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

这六项下标的第二个数是123的全排列，第一个数保持123不变，而正负号为逆序数的奇偶决定。

由三阶行列式可得如下结论

(1) $a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}$ $N$ 为 $j_{1} j_{2} j_{3}$ 的逆序数。

(2) $\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \\ \end{array} \right| =\sum (-1)^{N}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}$

即对1,2,3的全排列求和。

$n^{2}$ 个数排成的一个 $n$ 行 $n$ 列的记号

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right|=\sum_{j_{1} \cdots j_{n}}^{}(-1)^{N(j_{1} \cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}}$

其中 $N$ 为全排列 $j_{1}j_{2} \cdots j_{n}$ 的逆序数。有时简记为

$D=\left | a_{ij} \right |_{n \times n}$

4.1应用行列式新定义做题

例1：

$D_{1}=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&&& \\ &a_{22}&& \\ &&\ddots& \\ &&&a_{nn} \\ \end{array} \right|$

$=\sum_{j_{1} \cdots j_{n}}^{}(-1)^{N(j_{1} \cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}}$

$=a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} \quad \quad N(12 \cdots n )=0$

例2：

$D_{2}=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&&& \\ a_{21}&a_{22}&& \\ \vdots&\vdots&\ddots&\\ a_{n1}&a_{n2}&&a_{nn} \\ \end{array} \right| =\left| \begin{array}{cccc} a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ &a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ &&\ddots&\vdots\\ &&&a_{nn}\\ \end{array} \right|$

$=\sum_{j_{1} \cdots j_{n}}^{}(-1)^{N(j_{1} \cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}}$

$=a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} \quad N(12 \cdots n)$

例3.

$D_{2}=\left| \begin{array}{cccc} &&&a_{1n} \\ &&a_{2(n-1)}&a_{2n} \\ &{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{n(n-1)}&a_{nn}\\ \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cccc} a_{n1}&\cdots&a_{n(n-1)}&a_{nn}\\ a_{21}&\cdots&a_{2(n-1)}& \\ \vdots&{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}&& \\ a_{n1}&&& \end{array} \right|$

$=\sum_{j_{1} \cdots j_{n}}^{}(-1)^{N(j_{1} \cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}}$

附： $N(n \cdots 21)=\frac {n(n-1)}{2}$

$=(-1)^{\frac {n(n-1)} {2}}a_{1n}a_{2(n-1)} \cdots a_{n1}$

【行列式】8、逆序数与行列式

一、练习答案

二、知识点

1、全排列

2、逆序与逆序数

3、对换

4、行列式的定义

4.1应用行列式新定义做题

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