（7.4）James Stewart Calculus 5th

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Integration of Rational Functions by Partial Fractions 分式的有理数积分

之前，看见分式
就会想到，需要先合并

现在求积分，其实是一个逆向的过程
最好分解

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对应的degree情况

多项式degree的概念

这个时候，最高项的次数为n，这个多项式的次数就为n

我们再来看看分式：

当

可以化简为：

这里

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例子

我们可以先通过除法，把分式拆分

最后，单独求积分

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另一种情况

当Q（x）有很多线性因子的时候

我们可以化简成，类似这样的式子

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例子

一些例子

例子2

我们根据分母，可以化简为：

对应的分式，我们可以用 待定系数法（很原始，但是还是很好用）

这样可以知道

化简得：

解对应的线性方程

可以求得：

最后，化简得：

注意中间这项

系数是2，求对应的微分也是2x，所以，这里为 1/10

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例子3

和前面一样，待定系数法

化简

可得：


所以有：

可以化简为：

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Q（x）的再一种情况

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例子

先化简

再分解分母Q（x）

使用待定系数法

化简

解线性方程

求得 A=1， B=2， C=-1

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有一种情况

如果分母不可分，例如二次的分母，ax^{2+bx+c=0，有b}2 - 4ac < 0
则

如果这里面，b为0，则可以化简为：
（b不为0的时候，可以化简为 (x+p)^2 +d 的形式）

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例子

一些例子

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例子5

先分解分母

再待定系数法

得到对应的线性方程

带入得

最后化简

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例子6

先化简

这个时候，根据 b^2 - 4ac <0，可以判断分母不可分了

则，需要配成平方数

按对应的思路，做

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又一种情况

如果下面的情况，也满足 b^2 - 4ac <0

则还是化为对应的平方数
最后化成对应形式的和

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例子

一些例子

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例子7

先化简

可求得：

剩下的略

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例子8

化简

用 待定系数法

得到线性方程

可以求得：
A=1， B=-1， C=-1， D=1， E=0
代入并且化简，得

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Rationalizing Substitutions 有理化替换

有的时候，对应形式的

可以用u去替换

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例子

设

则

有

化简，可得：

我们由，上面的定理6

可以知道，这里 定理6中的a为2
则，式子为