中学数学梳理项目-七年级上第一章

本章的大致内容

我画的知识网络图如下（你可以按照自己的理解形成网络）：

image

本章的意义

本章的意义毋庸置疑，其中最重要的，我认为是数轴。下面按照重要性，依次说明：

1. 数轴：用几何图形来解决数学问题是最为直观的

2. 是初中、高中数学的基础，有利于大家在大脑构造出图像，形成空间想象力，有利于后期甚至高中学习几何（例如初中的直角坐标系、高中的空间坐标系）；

3. 把数轴学习好，有利于透过空间想象力理解绝对值、相反数。

4. 有理数的运算：这是数学基础；

5. 绝对值、相反数：这些都是基本定义和概念。

本章的具体内容

1. 数轴

如下图所示：

image

数轴可以帮助我们更好地理解记忆数：

1. 数轴在0点两边是对称的，例如在O点（0点）处折断，可以发现A点和C点是对称的，可以推测：2和-2，3和-3，4和-4... ...都是对称的；
2. 数轴往右越大，往左越小，例如图中的大小顺序为：A<O<C<B；
3. 由第2个性质，可以知道，0点左边的小于0，0点右边的大于0。

2. 相反数和绝对值

2.1 相反数

1. 代数意义：只有符号不同的数互为相反数，例如1和-1，2和-2等等；
2. 几何意义：在数轴上，如果在0点处折断（像折纸一样），如果两个点重合了（如图中的A点和C点），就互为相反数（也就是：以0点为中心，互为对称点的就是互为相反数）。

注意：0的相反数还是0
1. 根据代数意义：0=-0，所以0的相反数是0；
2. 根据几何意义：0点开始折断，与0点重合的是0点本身，所以0的相反数是0。

2.2 绝对值

1. 代数意义：把数的符号去掉，就是它的绝对值，例如去掉-1的符号-，也就是1（注意：正数前面也有符号+，只是省略掉了）；
2. 几何意义：该点到0点的距离，例如图中A点（-1）到0点距离为1。

注意：0的绝对值还是0
1. 根据代数意义：+0（或者-0），去掉符号，还是0；
2. 根据几何意义：0点到0点的距离是0，所以绝对值是0。

所以绝对值一定是大于等于0的（因为是距离）。

2.3 运算

运算只有一个需要注意的，即负数实际可以表示为一个正数与-1相乘。

2.3.1 加减

例如：4+(-1)=4-1=3。

注意：4-1除了小学的加减乘除，也可以用数轴，即：OB的距离，减去，OC的距离，也就是BC的距离，也就是3.

2.4.2 乘除

口诀：正正得正，负负得正，正负（负正）得负。

所以，当有三个数相乘，且abc都不为0：

1. 1. a,b,c都为负， 则结果为负，因为(ab)c，先组合ab得正，再乘c，正负得负；
2. a,b,c 中某两个为负，则我们可以先把两个负数组合得正后，再乘剩下的正数，结果为正；
3. a,b,c中只有一个为负，则可以把两个正数先结合为正，再乘剩下的负数，结果为负；
4. a,b,c都为正，则结果为正。

基于以上分析（如果还没有发现规律，可以试试5个数相乘），我们可以引申出更加泛用的计算方法：
把式子中的负号都先提取出来，都当做正数计算，然后当有偶数个负号时，最终结果加上正号（省略+号）即可；当有奇数个负号时，最终结果加上负号。

例如，，我们计算, 然后数有三个负号，于是给40加个负号，所以答案就是-40.

2.4.3 乘方

乘方的本质是乘法，，表示n个a相乘。例如，表示3个-3相乘，即，由2.4.2节的结论，很容易计算：。

例题

本章例题就省略了，总之，第一章是所有章节的基础，一定要多做题。