[补充]向量空间

• 概念

---

空间本身没有内涵网格，每个人都会绘画出不同的网格，网格只是一个人为的框架，是有助于理解坐标可视化的工具，但是原点总会重合。

问题：不同基下如何对同一个向量进行线性表示？

---

• 粗糙解释一下问题

描述空间同一个向量时，使用不同的基向量，描述的方式不同

直角坐标下 基的新坐标系下

当然，描述方式相同时，所刻画出的向量也不同~

于是，新的基坐标，我们可用直角坐标下的语言来刻画，为的是能让其在直角坐标系下可以表示出来。

但是，这种描述方法仅仅适用于直角坐标系下描述该向量，换成新的基坐标，描述方法又要改成新的基坐标下的语言。

---

• 坐标变换

我们用直角坐标下的语言描述新的基向量b1:[2,1]T，b2:[-1,1]T，然后按照新的基向量的线性变换[-1,2]T去描述该向量

这个矩阵的列代表的是直角坐标下描述的向量空间中的基向量，而向量代表一个特定的线性变换，线性变换的一个重要特性在于，变换后的向量仍是相同的线性组合，不过使用的是新的基向量。矩阵与向量的乘积，就是将线性变换作用于我们用直角坐标描述的基坐标向量，分别拉伸缩短，这就将新的基坐标下所描述的向量，用直角坐标系刻画出来了。

因此其意义是用直角坐标下的语言去描述向量空间中的向量。

而用另一个观点来看这个问题，矩阵本身是一种特殊的线性变换

然后将变换作用与在直角坐标下理解的[-1,2]T

1.从几何上说，直角坐标的网格→基坐标下的网格
2.从数值上说，是将基坐标下（[-1,2]T）的描述→直角坐标下（[-4,1]T）的描述

---

• 已知直角坐标下的[3,2]，求基坐标下的描述？

取“逆”，一个矩阵的逆，将所选的变换逆向进行，于是上述变换逆向进行

1.从几何上说，基坐标下的网格→直角坐标的网格
2.从数值上说，是将直角坐标系下（[3,2]T）的描述→基坐标（[5/3,1/3]T）的描述

以上是如何在坐标系之间对单个向量的描述进行相互转化

---

• 基变换

把基看成一个线性变换，作用于一个矩阵，经过拉伸缩短所形成的新的矩阵恰好是新的所需要的基，也就解释了为什么箭头方向是这样perfect~

---