刚体运动学（7）：矢量的变化率

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-02-20 17:41 被阅读0次

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从刚体的广义运动到正交变换，我们对转动变换的认识也逐渐从对刚体的研究推广到了一般的矢量。

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 对时变化率与瞬时角速度

$\mathbf{\bullet}$ 当一个物体随时间运动时，它的位矢通常也会改变，并且从之前的文章我们已经了解到，矢量的变化是与它所处参考系息息相关的。

对于一个广义矢量 $\mathbf{G}$ ，在局部参考系下经过时间 $dt$ 后的变化很显然与在全局参考系下经过相同时间的变化不同。

通常，位于这两个不同参考系下的观测者测量的变化具有如下关系：

$(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_b + (d\mathbf{G})_r\\$

即，矢量在全局参考系的变化量（用下角标 $s$ 表示）等于矢量在局部参考系的变化量（用下角标 $b$ 表示）加上矢量因为转动造成的变化量（用下角标 $r$ 表示）。

$\bullet$ 对于一个处于相对局部参考系静止的参考系中的观测者而言， $(d\mathbf{G})_b = 0$

所以

$(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_r\\$

若矢量与物体一起绕转轴逆时针旋转（主动变换），

$(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_r = d\mathbf{\Omega} \times \mathbf{G}\\$

所以在一般情况下，对于任意矢量，有

$(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_b + d\mathbf{\Omega} \times \mathbf{G}\\$

经过时间 $dt$ 的变化率

$\left(\frac{d\mathbf{G}} {dt}\right)_s = \left(\frac{d\mathbf{G}} {dt}\right)_b + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{G}\\$

其中 $\boldsymbol{\omega}\; dt \equiv d\mathbf{\Omega}$ ， $\boldsymbol{\omega}$ 是瞬时角速度，它平行于物体从时间 $t$ 到 $dt$ 瞬时微小转动的转轴。

$\bullet$ 因为矢量 $\mathbf{G}$ 具有一般性，可将其从上述等式中去除，表示为算符方程的形式

$\boxed{\left(\frac{d} {dt}\right)_s = \left(\frac{d} {dt}\right)_b + \boldsymbol{\omega} \times} \\$

我们得到了一个矢量的对时变化率在全局惯性系 $s$ 与旋转参考系 $b$ （局部参考系）之间的变换法则。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 用欧拉角表示角速度矢量

$\bullet$ 广义微小旋转下的瞬时角速度可以分解为三个矢量： $\begin{cases}\omega_{\phi} = \dot{\phi}\\\omega_{\theta} = \dot{\theta}\\\omega_{\psi} = \dot{\psi}\end{cases}$

$\boldsymbol{\omega}_{\psi}$ 沿局部参考系 $z^{\prime}$ 轴的方向，使用正交变换矩阵，可以得到三者沿对应轴的分量。

已知

$\rm{R}(\phi,\theta,\psi) = \begin{bmatrix}\cos\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi & \cos\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\sin\psi & \sin\psi\sin\theta\\-\sin\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\cos\psi & -\sin\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\cos\psi & \cos\psi\sin\theta\\\sin\theta\sin\phi & -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta \end{bmatrix}\\$

根据 $x$ -顺规，在局部坐标系下：

（1）矢量 $\boldsymbol{\omega}_{\phi}$ 沿全局参考系 $z$ -轴方向

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega}_{\phi}^{\prime} &= \rm{R}\boldsymbol{\omega}_{\phi}\\\begin{pmatrix}\omega_{\phi x^{\prime}}\\\omega_{\phi y^{\prime}}\\\omega_{\phi z^{\prime}}\end{pmatrix}&= \rm{R}\begin{pmatrix}0\\0\\\dot{\phi}\end{pmatrix} \end{align*}\\$

$\begin{align*} \omega_{\phi x^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi\\\omega_{\phi y^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi\\\omega_{\phi z^{\prime}} &= \dot{\phi}\cos\theta\end{align*}\\$

（2） $\boldsymbol{\omega}_{\theta}$ 沿交点线方向

$\mathbf{x}^{\prime} = \begin{bmatrix}\cos\psi & \sin\psi & 0\\-\sin\psi & \cos\psi& 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\\$

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega}_{\theta}^{\prime} &= \rm{x}^{\prime} \boldsymbol{\omega}_{\theta}\\\boldsymbol{\omega}_{\theta}^{\prime} &= \rm{x}^{\prime}\begin{pmatrix}\dot{\theta} \\ 0\\0\end{pmatrix} \end{align*}\\$

$\begin{align*}\omega_{\theta x^{\prime}} &= \dot{\theta}\cos\psi\\\omega_{\theta y^{\prime}} &= -\dot{\theta}\sin\psi\\\omega _{\theta z^{\prime}} &= 0\end{align*}\\$

（3） $\boldsymbol{\omega}_{\psi}$ 沿局部参考系 $z^{\prime}$ 轴方向，不需要再次进行正交变换

$\begin{align*}\omega_{\psi x^{\prime}} &= 0\\\omega_{\psi y^{\prime}} &= 0\\\omega_{\psi z^{\prime}} &= \dot{\psi}\end{align*}\\$

$\boxed{\boldsymbol{\omega}_{\psi} = \dot{\psi}\mathbf{k}^{\prime}}\\$

于是

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega} &= \boldsymbol{\omega}_{\phi} + \boldsymbol{\omega}_{\theta} + \boldsymbol{\omega}_{\psi}\\&= (\dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi)\mathbf{i}^{\prime} + (\dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi)\mathbf{j}^{\prime} + (\dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi})\mathbf{k}^{\prime}\end{align*}\\$

$\begin{align*}\omega_{x^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi\\\omega_{y^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi\\\omega_{z^{\prime}} &= \dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi}\end{align*}\\$

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