（摘自《儿童心理学手册》第六版第四卷<应用儿童心理学>）
不可否认，数学教育是教育心理学和发展心理学学科定位中最典型的范例。正如Kilpatrick（1998）所说，数学教育和心理学从过去的数世纪开始就已经紧密相连了，但是在那个时代的大部分时间里，双方是互补的而不是合作的关系。一方面，心理学家把数学当做一个领域来研究并检验认知与学习的理论争议；另一方面，数学教育家经常借用和有选择地使用心理学中的概念和技术。甚至，有时候他们相互批评。例如，Freudenthal（1991）批评心理学研究忽视了数学和数学教育作为一个领域的具体性质。另外，像Davis（1989）和Wheeler（1989），指责心理学家将数学教育的当前目标与实践看作是既定的且无争议的。然而，随着心理学的认知运动和相互交流论坛的创立及影响越来越大（比如1976年建立的数学教育心理学的国际组织），特别是自20世纪70年代以来，两个学科之间渐渐呈现出了相互合作、相互促进的关系。现在，数学学习和教学领域已经成为一个成熟的跨学科研究和学习的领域，在更好地理解数学知识、技能、信念和态度的获得与发展过程时，也关注如何设计有效的数学教与学环境。
过去的几十年中，发展心理学和认知心理学之间呈现出融合的趋势。从心理学历史看，在很长的一段时间里，这两个心理学分支坚持不同的，甚至相冲突的范式。发展心理学家认为，发展是必要的先决条件，有时甚至是教育、学习的最终目标，而认知心理学家则认为，认知的发展不是先决条件而是教育的结果（De Corten & Weinert，1996）。20世纪80年代，发展、学习、数学的概念已经出现了整合趋势及相互渗透影响的局面，原来极端的见解受到了冲击。正如De Corten & Weinert所说：
首先，发展与学习之间的关系及教学与学习之间关系的令人信服的理论和经验依据都是非常复杂的。成熟的准备、内隐学习和自我组织过程能够自发地将信息与已获得的知识整合在一起，这意味着认知的发展需要的比外显学习过程的总和还要多。另外，要学的比要教的更多。这些外显学习重要性的限制并不意味着学校学习和特殊训练对认知的发展就不重要，正相反，认知的发展在很大程度上在于多领域中技能的获得。
作为这些趋势的结果，发展心理学和教学心理学的界限，甚至心理学和数学教育领域研究的分支之间的界限也变得越来越模糊。因此，在本章，我们不是打算搞清楚在那些不同领域的调查研究之间的区别或者对其进行分类，而是数学思维与学习的关系。
虽然现在可得到大量关于数学学习与教学的研究，但是考虑到篇幅有限，我们在这儿不能全面地介绍所有的文献。尽管学校数学包括算数、三角、测量、几何，以及数据处理和概率，但我们只关注算数，这个关注点反映了目前心理学研究和教育研究的优势所在，也是我们自己的研究兴趣。在我们学算术与教算术的讨论中，我们特别强调整数算术和文字问题的解决，主题集中于过去十年颁布的改革文件【比如国家数学教师委员会（NCTM），2000】，因为它们对获得基本的数学能力极为重要。考虑到年龄范围，我们的评论也是有选择地集中于小学生，当然也兼顾了中学低年级的学生。
最后，我们涉及了Ginsburg、Klein等人（1998）在本手册以前的版本中关于儿童数学思维发展的精彩论断。例如，我们不考虑这一领域的历史，因为在那些章节已经作了简明的概述。有些没有在这被讨论的问题作为补充资料，读者可以参考，如Donlan 1998年编的《数学能力的发展》；国家研究协会发布的报告（NRC；2001a）：Kilpatrick、Swafford和Findell编的《加起来：帮助儿童学习数学》；Baroody和Dowker 2003年编的《数学概念和能力的发展：构建合适的专长》；Bishop、Clements、Keitel、Kilpatrick和Leung 2003编的《数学教育国际手册（第二版）》；Lester编著、即将出版的《数学教学和学习的研究手册（第二版）》。尽管我们只是选择性地讨论数学的某些内容和某个年龄段，大部分焦点依然是西方社会的数学思维，但我们希望我们的讨论是国际性的。
作为回顾数学思维与数学学习发展的文献的框架，也为了解读和讨论基于研究的指导与干预，我们用一个由四部分构成且相互联系的有效设计数学教与学模型来解释（2004）。
1. 能力：框架的这一部分分析和描述了数学能力或者数学熟练程度。它回答的问题是，要获取数学能力必须要学习什么？
2. 学习：这部分聚焦于有成效的数学学习和发展过程上。它要解决的问题是，什么样的学习/发展过程能够促进学生获取能力？
3. 干预：框架的这部分详细描述了有效数学教与学环境的设计原则和准则。它回答的问题是，能引起和保持学生需要的学习和发展过程的合适的教学方法和环境是什么？
4. 评价：模型的这部分监控和提高数学学与教评价的形成和方法。它要解决的问题是，评价学生数学能力组成成分的掌握和熟练程度，以及评价时需要什么工具？
在研究文献的系统讨论中，区分能力、学习、干预和评价模型（CLIA）中的四部分是十分必要的。在学校课程发展、设计学习环境和课堂练习的实践中，模型的各部分相互交叉。例如，强调概念的理解作为能力的一部分而非获取规则的过程，对学生应该参与什么学习活动具有重要意义，也对教学干预他们参加哪些活动有重要意义。显而易见，数学上评价概念的理解与检查学生能否完成常规程序需要不同的问题和任务。在这章中CLIA模型中各成分之间的相互关系将变得更清楚。
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