2019年迎春杯数学竞赛5年级C卷题11
有一个三位合数 ，
有质数个因数。老师把组成
的三个数字以及
的因数个数分别写在
张卡片上，随机发给
个聪明且诚实的同学甲、乙、丙、丁，
人只能看到自己拿到的数。老师问：有人知道
是多少吗?
甲、乙同时说：我知道。
那么三位数 是几 ？
【解析】
我们先复习一下关于约数个数的知识。
质数只有两个约数，一个是1，另一个是它本身；所以质数的约数个数一律为2.
合数可以表示为其质因数的乘积的形式，如
如果一个合数只有一个质因数，则可以表示为 , 那么它的约数个数为
个；
如果一个合数只有两个质因数，则可以表示为 , 那么它的约数个数为
个；
更多质因数的情况，可以依此类推.
用文字表述就是：把所有质因数的指数加1后再相乘，就可以得到合数的约数个数.
现在回到本题中. 因为 的因数个数是一个质数，所以它的质因数只有一个；
又因为 是合数，所以质因数的指数大于1；
于是我们知道，它应该是一个类似于 这样的数.
已知条件中还有一个要求： 是一个三位数，就是说，它应该介于
到
之间.
满足以上要求的数并不是很多，马上就可以理出一份清单.
| 合数 | 约数个数 |
|---|---|
| 3 | |
| 3 | |
| 3 | |
| 3 | |
| 3 | |
| 5 | |
| 7 | |
| 3 | |
| 3 |
从上面的清单可以看出： 这两个数 “很有个性”，
只出现了一次，而
出现了两次. 其余数字（包括
）都出现多次，缺乏个性.
假如 ，只会有一个学生知道
的值；而现在有两个学生同时回答自己知道
的值，说明：
.
【提炼与提高】
「约数的个数」是初等数论的一个基本的知识点，也是小学数学竞赛中的常用考点.
本题将数论与逻辑推理结合起来，难度不高，比较好玩.
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