微分方程中函数空间/函数族的概念

• 微分方程概念的抽象化

LaTeX格式化版本

一般我们学习微分方程都是从现实的物理模型出发得到的，但是如果没有学习过现代数学的一些基本概念（抽象代数和分析学等数学系课程），那么对微分方程的理解往往也就停留于此。
从抽象的角度看，我们应当进一步的把微分方程看成一种基于微分算子的代数组合得到的一类算子，将一个函数映射到另一个函数的形式。例如简单的二阶偏微分方程：
$$
\frac{\partial }{\partial^2 t} u(t) =-\omega^2u(t)
$$
理解的关键在于将我们对普通函数的抽象概念（数集合之间的映射）扩展到函数集合之间的映射。上面的二阶偏微分方程就可以理解为将函数$u(t)$通过微分算子$\frac{\partial}{\partial^2 t}$映射到$-\omega^2u(t)$上。

• 微分方程的解是什么？

微分方程的解就像普通函数方程的解类似，微分方程的解是函数。当然，对于条件不完备的情况下，普通函数方程解出来的是可能解取值集合，比如多项式代数方程的多个复数解；微分方程解出来的很可能是一族都满足微分方程的函数集合，这里叫做函数族。

• 边界条件是什么？

微分方程中的边界条件其实是对微分方程可能解的函数族的一个选择。不同的边界条件限制了我们对可能的函数族（作为微分方程的解的意义上）的选择。

例如第一类边界条件，一般要求作为解的函数过某些顶点，这就排除了那些不过该顶点的其他函数族；第二类边界条件，往往对函数的导数做了限定，实际上也选择了某些函数族，排除了另一些。

边界条件实际上还可以分为刚性条件和柔性条件，所谓刚性条件就是指要求函数满足某个等式的限制；所谓柔性条件是指函数需要满足某个不等式的限制。例如我们将一根弹性弦固定在两个刚性连接点上作震动，那么这个边界条件就属于刚性条件；如果我们将弹性弦固定在两个可以滑动的连接点上，连接点在一定范围内都被允许，那么这样的条件就是柔性条件。

一些特殊的边界条件很重要。

• 比如限定函数的某些泛函为一个正常数，例如自身的$L^2$范数：

$$
\int_a^b f^2(x)\text{d}x=C, C>0
$$

从基于位形坐标（$\delta$函数作基）希尔伯特空间看，这样的限定其实就是将函数族限定在希尔伯特空间的一个无限维的球面上。

• 比如限定要求上述范数达到一个最小值

$$
\min \int_a^b f^2(x) \text{d}x
$$

这对应于物理中的能量最低原理

• 更为普遍的是最小作用量原理，其一般形式

$$
\min \int_Lg(u,f(u),f'(u),\ldots)\cdot f(u)du
$$

即沿着函数可能的路径进行积分，积分核函数$g$与坐标、函数值、函数的各阶导数均有关系。

• 微分方程和线性代数的关系

微分方程如果由线性算子构造而得，那么就和线性代数有着密切的联系。特别的微分算子本身如果具备线性性质，这样的算子是线性算子。所谓的线性性质是，微分算子将原函数映射为象函数，原函数所在定义域（domain）本身是线性空间（这一点非常重要，即函数空间作为线性空间），而值域也是线性空间，线性算子（未必需要微分）保持了这样的线性结构。数学形式如下：
$$
\begin{align}
H(\lambda f) &= \lambda H(f) \
H(f + g) &= H(f) + H(g)
\end{align}
$$

• 对于这种映射，更多的时候我们用态射（morphism）来表达。
• 所谓线性结构，是指线性空间里的元素可以被另一些元素的线性组合表示。特别的，线性空间的基可以表示该线性空间里所有的元素。

一个非常重要的概念是，对于最简单的一些微分算子，其本身是线性的，例如直接求导、偏导都是线性微分算子。在线性空间的意义上来理解，一个线性微分算子，相当于对原函数空间中每个函数的附近（注意：[函数]的附近，未必指函数坐标的附近，可以指某种意义上附近，例如函数距离趋向于0）张出了一个额外的线性空间，沿着线性空间的基（微分，诸如$\text{d}u$或者$\alpha \text{d}u + \beta\text{d}v$之类）作一个变化（或“运动”），其象函数也会沿着该空间线性比例的“变化”（注意是变化本身线性缩放，而不是函数自己线性缩放）。

边界条件能够限定微分算子的线性空间结构。例如能量守恒约束条件将导致该微分空间的变化仅能在希尔伯特空间的球面上移动。

• 线性映射和矩阵的对应关系

学习过线性代数的知道，线性映射可以由矩阵表示，特别的可逆线性映射与可逆矩阵表示。在态射的语义下，可逆线性映射其实是同构态射（Isomorphism），通俗的说就是信息不损失的态射。

在态射中，同态态射（Homomorphism）可以保持结构不变性，例如线性映射保持线性结构不变，但是同态态射不能够保证信息不损失，因为定义域（domain）中的不同元素可能被态射转换到值域（codomain）中的相同元素，实际上值域的结构信息就比定义域的结构信息要少。而同构态射是一一对应的（单射Injective + 满射Surjective -> 双射Bijective），因此可逆。

• 时间演化的偏微分方程

典型的时间演化的偏微分方程，在每一个时间点附近看，其时变部分由空间微分（这里不讨论那些更复杂的情况）确定，因此整个时间演化过程可以看成一连串的线性空间微分算子的复合作用过程。下面是一个例子，其中函数$f(u,t)$是空间坐标$u$和时间的函数，$f_u$表示对空间$u$的偏导：
$$
\frac{\text{d}f}{\text{d}t}=h(u) + a_0f+a_1f_u+a_2f_{uu}+\ldots
$$
此类方程可以用矩阵的自连乘来表示，在数学上可以用矩阵的指数来表示（$M_{nn}$表示$n\times n$阶矩阵集合）：
$$
e^{nA}x， n\in N, A\in M_{nn}, x \in R^n \text{or} \ C^n
$$
即线性变换的矩阵表示A被迭代n次。具体情况请查阅wikipedia有关Matrix exponential内容。