莱布尼茨的阶梯轴为机械式乘除运算提供了一种巧妙的实现途径，但其本身作为一个长长的圆柱体却显得十分笨重。托马斯的算术仪充分发挥了阶梯轴的实用价值，却绕不过它笨重的特质。20位的算术仪长约70cm，需占用大半个办公桌面，而托马斯为1855年巴黎世界博览会专门制作的30位算术仪足有一架钢琴那么大。
莱布尼茨之后，世界各国的许多发明家都为缩小阶梯轴的体积绞尽了脑汁，他们中的一部分人不约而同地想到了一种把阶梯轴“拍扁”的做法。
齿数可变的齿轮
阶梯轴的本质，是实现了两个齿轮啮合齿数的可变性，那么，只要设计一个可以通过机械原理手动改变齿数的齿轮，就可以取代阶梯轴了。这样的齿轮由1个圆盘和9根销钉组成，销钉在弹簧的作用下默认为缩进状态，靠转动一个与销钉底部接触的圆环可以将它们一一顶出。这种齿轮名为pinwheel，我们不妨称之为“销轮”。
销轮结构
销轮可以扮演0～9齿10种齿轮的角色，旋转1圈，与它啮合的受动轮也便有了旋转0～9格的10种情况，与阶梯轴有着异曲同工之妙。
从18世纪初到19世纪70年代的160年余里，先后有来自意大利、德国、英国、法国、波兰、美国等多个国家的发明家用销轮建造了机械计算器，但多数机器并没有走出他们的实验室，直到1890年，一位和托马斯一样既懂技术又善经商的俄罗斯人才把它真正推向了世界。
戏剧性的是，直到19世纪末，人们才发现，其实莱布尼茨早在1685年就提出了类似销轮的设计。那时的莱布尼茨早已发明了步进计算器，但才听说帕斯卡的算术机。他从友人的信件中大致了解算术机的组成之后，提出了一种扩展方案，使其具有乘除运算的能力。主要原理就是增加一种齿数可变的齿轮，第一排为原算术机的齿轮，第二排为齿可以按需拆除的被乘（除）数轮，第三排为以直径表示数值的乘（除）数轮，第二、三排齿轮采用履带传动。
莱布尼茨对算术机改进方案的手稿（以365×124为例）（图片来自《A Source Book In Mathematics》）
虽然莱布尼茨并没有实现这一方案，但至少说明，他早就想到了动态改变齿轮齿数的点子。
销轮计算器
19世纪70年代，实用的销轮计算器几乎同时诞生于两个大国之中。其一是美国，一位名为弗兰克·史蒂芬·鲍德温（Frank Stephen Baldwin）的发明家在1875年取得专利；其二是俄罗斯，一位来自瑞典的机械工程师W·T·奥德纳（Willgodt Theophil Odhner）于1878年取得专利。
弗兰克·史蒂芬·鲍德温（Frank Stephen Baldwin），1838-1925，美国发明家。（图片来自维基百科、美国专利159244）
W.T.奥德纳（Willgodt Theophil Odhner），1845-1905，工作在俄罗斯的瑞典工程师、发明家、企业家。（图片来自维基百科、美国专利209416）
前者看似抢了一个小小的先机，但鲍德温的机器直到1912年才开始经由刚成立的门罗公司（Monroe Calculating Machine Company）进行商业化生产；而后者，由于奥德纳拥有自己的生产车间，在1890年就开始了商业之旅，他的机器被称为奥德纳算术仪（Odhner arithmometer）。
奥德纳算术仪组成结构（原图来自维基百科）
奥德纳算术仪也分为不动和可动两大部分，通过拨动外露的销轮把手置数，计算手柄顺时针旋转进行加、乘运算，反之减、除。奥德纳还设计了标识小数点的滑块，方便用户小数计算时的读数。
显然，扁平式的销轮使机器上的数位可以挨得很近。上图中是比较主流的13位（计算结果）奥德纳算术仪，这一型产品（含底板）的长度一般在30cm左右，而20位的产品长度一般也只有40cm出头，相比托马斯算术仪要紧凑得多，而且位数多越有优势。
到1900年，奥德纳算术仪的销量超过了托马斯算术仪。1917年俄罗斯爆发十月革命，奥德纳的工厂在国有化后于1918年关闭，30年不到的时间里它生产了约23000台机器。
而从1893年开始，世界各地还相继出现了许多生产奥德纳算术仪的其他公司，整个行业在1950年统计的历史总产量已有数百万台，并持续增长到70年代电子计算器普及为止。
参考文献
- Wikipedia. Arithmometer[EB/OL].
- Wikipedia. Pinwheel calculator[EB/OL].
- Smith, Eugene D . A Source Book In Mathematics[M]. Dover, 1959.
- Wikipedia. Frank Stephen Baldwin[EB/OL].
- F. S. Baldwin. Calculating Machine:US159244 [P]. 1875-02-02.
- Wikipedia. Monroe Calculating Machine Company[EB/OL].
- Wikipedia. Willgodt Theophil Odhner[EB/OL].
- W. Odhner. Calculating Machine: US209416 [P]. 1878-10-29.
- Nigel Tout. Instructions for basic arithmetic operations with a rotary pinwheel calculator[EB/OL].
- John Wolff. Pin-wheel Calculators[EB/OL].
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