活动投票

一个创业公司组织周末活动，老板征求大家意见，去玩密室逃脱或者去吃某个新开的自助餐。老板做出决定很简单，大家在群里投票，哪个票多就哪个。但有员工提出，最近某部才上映的电影也不错，可以一起加入活动待选项，老板同意了。

假设现在公司就只有3位员工，每个员工有6票，他们的投票得出了如下的结果：

员工1 密室：3 | 自助：2 | 电影：1
员工2 自助：3 | 电影：2 | 密室：1
员工3 电影：3 | 密室：2 | 自助：1

这个时候老板头疼了，因为结果中活动的总分都是一样，选择任何一个活动好像都不太合适。

通过这个例子可以看出，“尊重大多数”这种投票模式在一些的社会选择问题中是有毛病的。接下来我们就来简单聊聊社会选择问题。聊这个之前，我们先来看看两个定义，社会福利函数（social welfare function）和社会选择函数（social choice function）。

社会福利函数与社会选择函数

我们经常可以看到社会福利函数和社会选择函数，那么它们到底是什么意思，我们花个2分钟来了解下。
社会福利函数的定义是： $F: L^n \rightarrow L$ 。其中 $L$ 表示选项集合 $A$ (候选项) 的线性排序集合， $n$ 是参与投票人的数量。也就是说，社会福利函数是 $L^n$ 到特定选项排序的线性映射。这么听上去可能有点绕，我们可以理解为社会福利函数是一个获取群体的偏好结果的函数，比如：

员工1= 密室：3 | 自助：2 | 电影：1
员工2= 密室：3 | 电影：2 | 自助：1
员工3= 电影：3 | 密室：2 | 自助：1

社会选择函数的定义是： $F: L^n \rightarrow A$ 。社会选择函数是 $L^n$ 到选项集 $A$ 的一个线性映射。我们可以把它看成是一个获取最终选择结果的函数，比如老板看了下投票，然后宣布：

走，去吃自助

策略操纵

搞清楚这两个函数概念后，我们接着再看另一个公司投票的例子，现在公司有4个员工，每个员工有10票，现在每个员工投票的真实评分（投票）如下：

员工1= 密室：4 | 自助：3 | 电影：2 | 卡丁车：1
员工2= 密室：3 | 自助：4 | 电影：1 | 卡丁车：2
员工3= 密室：2 | 自助：3 | 电影：2 | 卡丁车：3
员工4= 密室：2 | 自助：2 | 电影：3 | 卡丁车：2

可以发现，密室和自助的得票数都是12票，但员工2是个吃货，他太想去吃自助了。这个时候，他就动起了歪脑筋，为了保证密室的得票数低于自助，他在投票的的时候并没有按照自己的真实偏好（自助>密室>卡丁车>电影），而是将自己的投票数变为了：

员工2= 密室：1 | 自助：4 | 电影：3 | 卡丁车：2

这样，员工2就可以确保自助活动的票数最多,我们把这种投票方式称为策略操纵（strategic manipulation)。策略操纵行为的原因是对选项的偏好（密室>电影）受到了选项自助的影响。如果社会福利函数中，投票者对选项的偏好不会受到影响，那么我们称其社会福利函数满足独立性，定义如下：