《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。又称《原本》，它是欧洲数学的基础，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。在《几何原本》中，欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。
《几何原本》的第I卷几何基础由23个定义，5个公设和5个公理以及由定义、公设、公理出发，通过论证得出的48个命题组成。我们首先对23个定义进行解读和评论。
定义I.1
A point is that which has no part.
点：点不可以分割为部分。
本定义给出了《几何原本中》的第一个术语：点。不可以分割为部分表示点是没有长度、宽度，并且不可分割的一个位置。
接下来的几个定义给出了更多的术语。一般情况下，后面的术语通过前面定义的术语来定义。但《原本》中的前几个术语不是通过其它术语来定义的，他们是原始术语。后面的公设和公理将为这些原始术语赋予更多的含义和属性。例如第1个公设：任意两点之间可以作一条直线在某种程度上给点赋予了更多的含义。
定义I.2
A line is breadthless length.
线：线只有长度没有宽度。
线是元素中的第二个原始术语，只有长度没有宽度表示一条线具有一个维度—长度，但不具有宽度。《原本》中并没有给出术语长度和宽度的定义。在定义I.5中，用两个维度—长度和宽度定义了面；在定义XI.1中，用三个维度—长度、宽度和深度定义了体。
需要注意的一点是，《原本》中的线并不一定是直线，在后面，直线有专门的定义。此外，从下一个定义来看，显然《原本》中的线可以有末端(以后称为端点)，此时它们是线段或者曲线段。但线不一定必须要有端点，比如圆就没有端点。事实上，线的长度不一定是有限的，但这种情况在《原本》中很少出现，通常可以通过语境来判断。
定义I.3
The ends of a line are points.
线的末端是点。
这个定义说明的是某些线和点之间的关系，即点可以是线的末端(以后称为端点)。它并没有说是什么样的端点；也没有说一条线有几个端点。比如，圆没有端点；一条有限的线有两个端点。
定义I.4
A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
直线：直线是其组成点，均匀地直放着的线。
该定义说明直线是一种线，但从定义上很难解释清楚什么是直线，不同的人有不同的解释。在定义I.7平面的定义中使用了类似的比较模糊的语言。后面的公设将给出直线更多的含义。
定义I.5
A surface is that which has length and breadth only.
面：面只有长度和宽度。
本定义表明面具有两个维度，但在此前或此后却没有定义什么是长度和宽度。注意，面不一定是平面，除了平面，在《原本》中出现的面还有圆锥，圆柱和球的表面。
定义I.6
The edges of a surface are lines.
一个面的边缘是线。
该定义描述了面和线的某种关系，比如半球面的边是圆。
定义I.7
A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.
平面：平面是组成的线，均匀地放着的面。
需要注意的一点是，平面可以是无限大的，但又不一定是无限大的。它可以是正方形，圆形或任何其他平面图形（定义I.19）。
定义I.8
A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.
平面角：平面角是在同一平面内但不在同一直线上的两条线相交所形成的倾斜度。
角对于整个希腊的几何学来说都是非常重要的概念，许多命题即使是陈述也需要用到角。
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从下一个直线角的定义可以看出，角的边不一定是直线，也可以是曲线。角度的大小不取决于边的长度，而仅取决于边的相交方式。在《原本》中，几乎所有角都是直线角，但带有曲边的角在命题III.16中出现过。在该命题中，出现了所谓的喇叭角，即图中的，它被描述为圆与直线切线之间的倾斜度。
小于任何直线角
，即便
的曲边超过
的边。这是因为在该角的顶点
附近，
完全包含在
中。
定义I.9
And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilinear.
直线角：含有角的两条线都是直线时，其角称为直线角。
该定义是定义I.9的延续，《原本》中出现的几乎所有的角都是直线角，
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如图所示，是直线角。角通常由三个点命名，中间点角的顶点。当没有歧义时，以其顶点命名角就足够了，在此示例中，角
也可以简称为角
。这种命名角的方式被沿用至今。
定义I.10
When a straight line standing on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.
直角与垂线：一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角相等，两角皆称为直角，称这条直线为另一条直线的垂线。
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如图所示，和
相等，由定义，它们都是直角，上面那条直线
垂直于直线
。后面的公设4指出，所有直角均相等。虽然《原本》没有给出垂线存在性的说明，但命题I.11给出了垂线的构造方法。此外，可以证明
也垂直于
。
定义I.11
An obtuse angle is an angle greater than a right angle.
钝角：大于直角的角叫钝角。
定义I.12
An acute angle is an angle less than a right angle.
锐角：小于直角的角叫锐角。
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图中，是钝角。它大于一个直角，但小于两个直角。注意，欧几里得要求任何角度都必须小于两个直角。
是锐角，它小于直角。
注意，这里并没有要求角是直线角。实际上，前面提到的喇叭角不是直线角，但因为小于直角，因此也是锐角。
定义I.13
A boundary is that which is an extremity of anything.
边界：边界是物体的边缘。
定义I.14
A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.
图形：图形是一个边界或几个边界所围成的。
定义I.13和I.14很模糊，因为边缘（extremity）和包含于（contained by）并没有被定义。
定义I.15
A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure equal one another.
圆：圆由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
定义I.16
And the point is called the center of the circle.
圆心：定义16中的那个点叫做圆心。
定义I. 17
A diameter of the circle is any straight line drawn through the center and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.
直径：直径是穿过圆心、端点在圆上的任意线段，该线段将圆二等分。
定义I.18
A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the center of the semicircle is the same as that of the circle.
半圆：是直径与被它切割的圆弧围成的图形。半圆的圆心与原圆心相同。
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定义I.15—I.18描述了什么是圆。这些定义并不能保证定义的事物的存在性，圆的存在性源于后面的公设I.3。需要注意的是，《原本》中的圆是一个二维图形，而现代数学中的圆通常指的是《原本》中的圆周。
定义中并没有假设圆只有一个圆心。命题III.1给出了圆心的构造，该命题的证明也说明了圆心是唯一的。包含圆的曲线是其圆周，《原本》中通常用圆周上的三个点来命名一个圆。
《原本》中并没有使用术语半径，而是使用了“that from a center”，但半径是一个非常有用的术语，因此“that from a center”将被翻译为半径。
图中，线段是圆
的一条直径，显然，直径是半径的两倍，并且根据定义，半径彼此相等，因此直径也都彼此相等。
直径将圆二等分不应作为定义的一部分，而应作为公设或作为命题并证明。直径能否将圆二等分取决于圆是否在平面上，具有非恒定曲率的面上的“圆”并不具有该性质，即“直径”两侧的两个“半圆”不一定相等。
定义I.19
Rectilinear figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.
直线图形：直线图形是由线段首尾顺次相接围成的。三边形（即三角形）是由三条线段围成的，四边形是由四条线段围成的，多边形是由四条以上的线段围成的。
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定义I.20
Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.
三角形中，三条边相等的叫做等边三角形，两条边相等的叫做等腰三角形，各边都不相等的叫做不等边三角形。
该定义按三角形的对称性对其进行分类，而定义I.21按其所包含的角的大小对三角形进行分类。
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如图所示，不等边三角形不具有对称性；等腰三角形
具有左右对称性；等边三角形
不仅具有三个左右对称性，而且具有120°旋转对称性。
根据定义，等边三角形不被当做等腰三角形考虑。等腰三角形这个术语首先在命题I.5中使用，后来在第3卷和第4卷中使用。和现在一样，等腰三角形在《原本》中并不排除等边三角形的情况。
命题I.1给出了等边三角形的构造方式，命题I.5和I.6证明了等腰三角形的另一个特征，即它们的底角相等。
定义I.21
Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acute-angled triangle that which has its three angles acute.
三角形中，有一个角为直角的叫做直角三角形；有一个钝角的叫做钝角三角形；三个角都为锐角的叫做锐角三角形。
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上图中，三角形是直角三角形，因为它有一个角是直角，三角形
是钝角三角形，因为它有一个钝角；三角形
是锐角三角形，因为它的所有角都是锐角。
命题I.17指出，三角形中任意两个角度之和小于两个直角，因此，三角形不可能包含一个以上的直角。此外，最多可以存在一个钝角，并且在三角形中不可能同时出现直角和钝角。
定义I.22
Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia.
四边形中，四条边相等并四个角为直角的叫做正方形；四角为直角，但边不完全相等的叫做长方形（也叫矩形）；四边相等，角不是直角的叫做菱形；两组对边、两组对角分别相等的叫做斜方形（即平行四边形）；其余的四边形叫做不规则四边形。
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上图中，是正方形；
是一个长方形或矩形；
是菱形；
是梯形，
是一个平行四边形。该定义里的图形在《原本》中唯一实际使用到的是正方形。
定义I.23
Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.
平行直线：在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。
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该定义仅给出了平行直线的含义，并没有任何关于平行直线存在性的说明。命题I.31给出了过定点构造给定直线的平行直线的方法。
参考文献
- Euclid’s Elements, David E. Joyce.
- 《欧几里得几何原本》，兰纪正，朱恩宽译。
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