《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。又称《原本》，它是欧洲数学的基础，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。在《几何原本》中，欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。
《几何原本》的第I卷几何基础由23个定义，5个公设和5个公理以及由定义、公设、公理出发，通过论证得出的48个命题组成。本次我们要导读的是5个公设。
公设（postulate）是无需证明即被认为是正确的命题或者陈述。第I卷中的大部分公设都是关于构造作图的：比如公设I.1说的是过给定的两点可以作一条直线；公设I.3说的是给定任意圆心和半径可以作圆。
公设I.1
To draw a straight line from any point to any point.
过给定的两点可以作一条直线。
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这是《原本》中的第一个公设，它说的是任给两点（例如和），可以使用直尺作一条直线(线段)使其以和为端点。这里并没有明确地说过两点之间的直线是唯一的，但后面使用该公设时却到了唯一性。由此我们可以推测该公设隐含了唯一性的假设，《原本》应当对此做出明确的声明。
公设I.2
To produce a finite straight line continuously in a straight line.
线段可以继续延长。
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这里我们有了直尺作图的第二个操作，即延长给定的直线（线段）得到直线。这里并没有说直线可以延长到哪里，有时候延长的长度是某条给定的线段的长度，有时候延长的长度是无限的。
该公设也没有说当延长直线时，延长的部分仍然被包含在所讨论的平面内。命题XI.1说一条直线不能一部分在一个平面内，但另一部分在另一个平面内。证明该命题的核心步骤是：证明一条直线不能有两种延长方式，即一条直线只能有一种延长方式，该命题的证明很难令人信服，因此该公设应当包含与之相关的条款。
定义I.3
To describe a circle with any center and radius.
给定任意圆心和半径可以作圆。
这是《原本》中的第三种作图方式，它对应的是使用圆规画圆。在定义I.15和定义I.16中，圆被定义为：到定点的距离等于定长的平面图形，定点被称作圆心，定长被称作半径。
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使用该公设时需要给定的数据有：
- 作为圆心的点；
- 圆周上的另一个点；
- 包含这两个点的平面。
在《原本》的前几卷，因为考虑的是平面几何，因此不需要指明平面；但《原本》的最后几卷考虑的是立体几何，必须指明平面。
从字面上来看，公设I.3并不允许传递距离；即不允许使用圆规量取给定线段的长度，并以量取的长度在任意地方画圆。然而，命题I.3的证明使用圆规传递了距离。因此，公设I.3暗含了可以传递距离这一假设。
公设I.4
That all right angles equal one another.
所有的直角彼此相等
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在直角的定义中，以垂线的垂足为顶点的的两个角是相等的（例如和）是相等的。该公设是说，以某个垂线的垂足为顶点的角（例如，）的大小等于以任何其它垂线的垂足为顶点的角（例如，）。
《原本》中关于角的大小的例子基本上都和直角有关，例如，在命题I.17说三角形中任意两角的和小于两个直角；在命题II.9的证明中，使用了两个角的大小都是直角的一半得出那两个角相等的结论。
该公设的第一次运用是在命题I.14中。
公设I.5
That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.
(同一平面内)一条直线和另外两条直线相交，若在直线某一侧的两个内角之和小于两个直角的和，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
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如图所示，若加上小于两个直角（180°），则直线和沿和方向延伸时， 它们将相交。
因为可以用来证明平行线的性质, 第五公设也被称为平行公设。第五公设不像其他公设那么显然并且显得有些繁琐，因此从古希腊到19世纪初，几何学家们一直试图证明该公设可以从其它的公设和公理推导出来。这些尝试最终都以失败告终，直到19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。也就是说，第五公设是独立于其他公设和公理的，并且可以用不同的“平行公设”去替代它，这导致了非欧几何的发现。
直到命题I.29，第五公设才被第一次使用，但第I卷余下的部分几乎全都依赖于该公设。
参考文献
- Euclid’s Elements, David E. Joyce.
- 《欧几里得几何原本》，兰纪正，朱恩宽译。
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