沃尔特.尼克尔森著《微观经济理论：基本原理与扩展》【第九版】朱幼为等译 宁向东 审校pp491有这么一个问题，即圣彼得堡悖论，听说是18世纪数学家丹尼尔.贝努利首先对它进行了严格的研究。该悖论是提出一个貌似公平的赌博“掷硬币直到出现正面为止。若在第n次才第一次掷出正面，则参与者可得到2^n美元。简单概率计算为第n次才掷出正面，概率为2^（-n)，该等比数列的和刚好为1，似乎符合概率测度的一点要求。由于每一次掷出正面的概率乘以奖励值，刚好为1，由离散型期望求和公式可得知，将有无穷个1相加，这么一说该期望值为无穷大。这没什么大不小，柯西分布就没有期望值，干脆不存在，比无穷大的期望值更可怪。
这就是原来的问题。其实我当初一看到，就疑惑不解。这么长时间过去，我依然坚信自己直觉是对的。虽然该章期望效用理论不是错得那么离谱，那总觉得举这么一个例子是错误的。为什么呢？我坚信这个赌博的期望值应该是1美元，而不是无穷大。即是说，若参加这么一个赌博的话，我只接受参与费为1美元，而教材作者说他参加这个赌博只收10亿美元，而且他确信没人愿意与他玩儿。于是，作者得出结论：在某种意义上，贝努利赌博不值其无穷的期望值。然后他下面就解释说是效用函数的凹性所致。
但在我看来，这完全是风牛马不相及。因为该赌博的期望值是1美元，所以大家只会接受赌博参与费1美元，而他给出的参与费竟然是10亿美元，这两个数字相差天文单位之远，怪不得他自认没趣，肯定不会有人跟他玩的。直觉告诉我们，这个赌博远不是公平是，毕竟他的期望值竟然只是1美元，如此低廉。
说了这么多，那为什么该赌博的期望值是1美元呢？
大家都知道，概率是一个样本点空间的测度，而事件又是由样本点组成的，而为了避免不可列幽灵，所以限定该概率函数必须是博雷尔可测函数，即能够在数轴上由半开半闭区间来表示。而概率原理强调事件的独立性，就是要不断分割空间直到得到一个最小互相独立的西格玛空间，而该空间的运算法则遵循着传统的可列可加性或者互补性或者上下连续性，故又可称为西格玛代数。代数就是抽象的数和运算法则组成的，或者也可说成是集合中元素和元素组合规则凑成的那么一个空间。比如说一群独立的个体，然后再规定个体交际方式和模式，就形成一个网状交际空间，这也可说是一个人际代数。
那么说，上面那个赌博满足这些条件，若不满足，就不能套用概率空间的概率测度运算法则。首先说上面各次掷硬币可以看做是一个可列事件组合，即可以按自然数顺序给它们一个挨一个编码下去，知道无穷大，或者可说是欧米伽大，那是康托发现的一个人类思维极限，虽然后来有不断推到各种离奇古怪的结果，比如欧米伽的欧米伽次方的欧米伽次方。。。但都可不靠谱，克罗内科说道上帝在我们心中造了自然数的直观，其余都是人类自己的聪明才智，比如复数的虚数单位的引入，谁知道负一的开方是什么，无人知道，还有实数的不可列性，那也是康托搞出来的怪胎，涉及到对角线论证。还有现代数学各种代数模型，甚至各种反逻辑反直观的系统的出现，比如非标准分析，规定无穷大竟是一个数，其实这还涉及到选择定理，即该无穷能否被实现，即或者是潜在无穷，就是无限延长，就像渐进线那样，或者极限那样，就是可以不断靠近，但就不能接触到，因为实数的不可列性，世界上所有秘密都可以说藏在这里了。所以物理上无穷维希尔伯特空间便催生一种人为怪胎，那便是数学上特殊函数delta的来源，那是狄拉克搞出来的，其实有时人类的类比能力简直是无所不能，诗人惊奇的比喻就是明证。而该特殊函数积分竟然满足在其他点为零，但在该点却等于本身，这够自足了吧，这也是宇宙暴炸理论的源泉，即断言存在一个奇点，质量密度和电荷密度无穷大，然后一步步往空间散开，爱因斯坦还提出有界无限的宇宙，就是宇宙在不断膨胀，但总归有界，说不定就有人据此论证既然宇宙有限，那么肯定能够到彼岸，然后往回走，这样不断循环，所以便有宇宙循环膨胀与收缩的学说，这有点类似佛教的世劫概念，本人从直觉上排斥奇点的存在，认为那是无稽之谈，但承认无限有界性，因为又是实数不可列性，这可以从乌龟与阿基里斯的赛跑得到一点启示，那便是一个无穷多项的数列的极限和是一个有限值。愈多人认为乌龟笨，其实那些人才是淹没在常识海洋中，还不知不觉。因为问题是永远存在的，即乌龟所侧重的是阿基里斯的步数是无限的，因为假如阿基里斯真能做到无穷小速度的话，这就比如说虽然该无穷数列的极限和是有限值的，但永远不能否认它的项数是无穷的，在可列的意义上。所以说，极限理论远没解决这一问题，其实柯西定义只是为了分析的方便而定义了任意小的西格玛这些概念，但这些概念本身就有毛病，所以说早期牛顿流数的概念隐含的幽灵其实并没很好解决掉，也许永远不可解决，这就像欧几里得空间的点线定义本来是标准的牛顿力学空间模型，然后爱因斯坦的黎曼空间变得弯曲了，质量和引力竟无法分别，就是那么一个场，然后能量就是这一切了，各种离子粒子冲击穿梭，这还真有点像佛祖在菩提树下参禅想到的一样，就是一副混沌图像，佛家就叫人细到这种程度，比如肠子是如何蠕动的，听呼吸的频率，各种通感能力，道教也入戏如此，沉思默想，本来就是神秘学派的真传，这永远不会灭绝，就像只有人类社会存在，宗教不会灭绝，政治也不会灭绝，经济更不会了，吃饭总得吃的。就算社会不存在，就只剩一个人，那一个人也可以说是自己参禅，自耕自足，不亦乐乎！那么新旧欧几里得空间只是变换了点与线的所指，虽然这些概念符号没变，就是能指不变，这又扯到索绪尔的语言学概念了，姑且盗用一下。迅即返还。这么说新旧本来是异途，何谈谁驳倒谁，世上还真找不到一个绝对可靠的立脚点啊！不可这可激发数学形式主义的疯狂了，既然这些概念是虚中有实，就像一个模，可以乱套，什么塞进去，只要满足自洽性就好，即是满足相容性，就是不能自己打自己嘴巴，虽然现实中还真有人这么做，就像自杀竟然能够实现了，理论上自杀是不可能的，因为万能上帝竟然造不出一个连自己举不起来的石头，或者说谎者悖论，甚至于哥德尔不完全定理。有时，就是理论上找不到出路，因为理论追求完美，而实践追求效率，所以粗暴的亚历山大大帝竟然用剑斩断结绳，多干脆，并不是像所罗门那样有智慧了，粗人也有粗人妙法，他那样做其实就是跳出框框架架，实践永远赶超理论，所以黑格尔感叹哲学永远只能是黄昏起飞的猫头鹰，用哲学指导生活，那样就会到处碰壁，因为现实太多不确定性，太多人际感受性，人本来就善变，就像哪天心情不好就像抽人，只是理智暂时克制住了，康德也说过，曲折的人性之才是造不出直木来的，以赛亚.伯林最爱引用这句话了，谁赞同这句话，就代表离尼采的虚无主义和加缪的荒谬主义或者海德格尔的神学关怀就不远了，那样就会承认多元主义，但多元谁是主元啊，像当今世界，美国就是那一个主元了，不够也许是人性一致，要不怎解释facebook 效应或者现代化文明和科技的如此广泛应用，而且大家都怕发展慢了，大家都想把地球当皮球踩踏和踢踏，反正现代各种踢踏舞步也挺炫人的，生活快节奏，好像整个人类在进行着一场盛大的末世狂欢，等待上帝的审判的到来，那一天，我肯定在一个角落独自思考人生，而众人早奔向上帝讨功去了，或者炫耀自己尘世的功成名就，比如赚来多少美钞，美国绿卡，做了多么重大的决策，就像最近上架的美国布什总统的自传《决策时刻》，他在书里挺坦诚的，但也挺自豪自己的价值观，比如普世自由，不过，倒过来，你不赞成自由吗，你喜欢被统治吗，除非是受虐狂，谁不想当头，只怕先出头的柱子先坏，老子就说过皇帝不是谁都能当的，权力场比物理场还牛逼，都时候人在江湖，身不由已，布什总统就描写到每天听中情局的报告或者各种简报，然后每天掂量该做怎样的决定，比如要不要反恐，要不要增兵伊拉克，要不要救助金融破产的大寡头，布什总统也说他也挺喜欢那些华尔街寡头破产，但他们破产好像就得把全球金融市场搞垮，这也是路径依赖吧，越大的商业银行越难倒。
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