广告系列（九）- 动态保留价

在拍卖中卖家为了增加拍卖竞价环境的激烈程度，保障收益，设置了保留价，对于广告平台而言，有众多广告主参与竞价，统一设置固定的保留价则不能使平台收益最优，为此提出动态保留价，下面我们展开讲一讲。

从计算上讲，动态保留价与固定保留价相比，主要差别在于针对不同的广告主设置不同的价格上，更加精细，千人千面就需要了解广告主的特性及对广告曝光的估价分布。在广告系列（六）- 最优机制里，我们提出最优机制的拍卖时竞价的标准不是广告主估价而是虚拟估价，并且解释了为什么使用虚拟估价代替估价的经济学解释，它代表了卖家的边际收益，在一次单品拍卖中把物品配置给边际收益最高者，里面有个隐含假设：

最高的虚拟估价高于保留价，即

其中，代表卖家对物品的估价，即保留价  ，同时也是卖家的成本。

在求动态保留价时，我们令  ，即

解出上式中的  ，就得到针对该买家的动态保留价，从上式可以看出要解出等式必须知道 

 ，即买家估价的密度函数，这个前提与最优机制时是一致的：

不知道各个买家的估价分布无法针对性的设置保留价和最优机制来最大化卖家收益。

这里可能会有个疑问为什么令 ，解出来的  就代表了动态保留价，下面我们说下经济学的解释。

从经济学角度，随着物品供给量不断增加时，边际收益递减，边际成本递增，当

企业利润最大化。在单品拍卖中，虚拟估价 代表边际收益，保留价 代表边际成本，

令  ，即

此时卖家利润最大。

又因为广告拍卖的是曝光，有区别与其他拍卖品，不能长期储存，过后即废，所以在实际操作中有时令

此时上式变为

即 

可得买家的动态保留价。

下面我们用图可以更加直观的感受下：

其中，  ，代表需求函数，  ，代表边际收益函数（也是买家的虚拟估价函数），

当 时，得到最优产量及价格 , 此时对应上面的动态保留价 。

对于广告系统而言，不同广告主有不同的估价，需要根据历史数据拟合出估价分布函数，基于此求出广告主各自的保留价后分别设置。

这里我们可以完善下关于之前对最优机制的描述：

分配规则：当  时，虚拟估价最高者得，否则保留物品；其中 表示买家的虚拟估价；

支付规则：竞得者需支付价为 ， ；其中  ，表示除去竞得者买家 的虚拟估价最高者， 表示买家 的虚拟估价的反函数， 

如果买家是对称的，此时 

则： 

其中， 表示除竞得者 以外的最高报价。

即带保留价为 的二价拍卖为最优拍卖机制。