数学归纳法求数列通项公式

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-10-13 08:16 被阅读0次

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数学归纳法求数列通项公式

【高考地位】

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。

方法一数学归纳法求数列通项公式

解题步骤：

第一步求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；

第二步使用数学归纳法证明通项公式是成立的.

【例】若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且方程 $x^2-a_nx-a_n=0$ 有一个根为 $S_n-1$ ， $n=1,2,3...$

(1) 求 $a_1$ ， $a_2$ ；（2）猜想数列 $\{S_n\}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明

【解析】：

（1）由题意得： $(a_1 -1)^2-a_1(a_1-1)-a_1=0 \Rightarrow a_1=\dfrac{1}{2}$

$(a_1+a_2-1)^2-a_2(a_1+a_2-1)-a_2=0$

$\Rightarrow \left(a_2 -\dfrac{1}{2}\right)^2-a_2\left(a_2 -\dfrac{1}{2}\right)-a_2=0$

$\Rightarrow a_2=\dfrac{1}{6}$

（2）由 $(S_n-1)^2-a_n(S_n -1)-a_n=0$ 知 $S_n^2-2S_n+1-a_nS_n=0$

将 $a_n=S_n-S_{n-1}(n \geqslant 2)$ 代入 $S_n^2-2S_n+1-a_nS_n=0$ 得

$S_nS_{n-1}-2S_n+1=0(n \geqslant 2)$ ………（*）

由（1）得 $S_1=\dfrac{1}{2}$ ， $S_2=\dfrac{2}{3}$

由（*）得 $S_3=\dfrac{3}{4}$ ，猜想 $S_n=\dfrac{n}{n+1}$

下面用数学归纳法证明这个结论

(i)当 $n=1$ 时已知结论成立

(ii)假设 $n=k$ 时结论成立，即 $S_k=\dfrac{k}{k+1}$

当 $n=k+1$ 时，由（*）得 $S_{k+1}=\dfrac{1}{2-S_k}=\dfrac{k+1}{k+2}$

故 $n=k+1$ 时，结论也成立

综上，由(i)、(ii)可知 $S_n=\dfrac{n}{n+1}$ 对所有正整数 $n$ 都成立

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