二项分布、泊松分布及其R实现

• 伯努利试验

1. 两种结果：发生或不发生
2. 该项试验独立重复了n次

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• 二项分布

*** 概念

binomial distribution

The undelying assumption:
there is only one outcome for each trial, each trial has the same probability of success, and each trial is mutually exclusive or independent of one another.

即：每一种结果在每次试验中都有恒定的概率，试验之间是相互独立的！

二项分布描述的是n重伯努利实验，在n重伯努利试验中，事件A恰好发生y(0≤y≤n)次的概率。

𝑛=试验次数
𝑦=在n次试验中事件A出现的概率
𝜑=事件A发生的概率（每次试验都是恒定的）
1−𝜑=事件A ̅发生的概率
𝑝(y)= 𝑌的概率函数= 𝑃(𝑌=𝑦)
𝐹(𝑦)=𝑃(𝑌≤𝑦)=

*** 抛硬币事件

每次试验两种可能性：正面（事件A）和反面（事件A ̅）
抛了10次硬币，正面3次的概率𝑝(3) ，正面3次及3以下的概率𝐹(3) 。
每次抛硬币是正面的可能性是1/2

随机变量𝑋的概率分布如下:

随机变量𝑋服从二项分布，记作𝑋~𝐵(𝑛,𝑝)

*** 服从二项分布的随机变量特征数：

*** R实现：

1. 在10次抛硬币试验中抛出3次为正的概率 𝑝(3)

dbinom(3,10,1/2)

2. 在10次抛硬币试验中抛出最多3次为正的概率 F(3)

pbinom(3,10,1/2)

3. 在10次抛硬币试验中,抛出最多几次正时，概率为0.171815

qbinom(pbinom(3,10,1/2),10,1/2)

4. 生成一个二项分布随机变量的向量: 10次抛硬币试验，生成100个试验结果中硬币是正面的向量（即重复100组模拟，每组10次抛硬币试验中硬币是正面的次数）
   参数10以及1/2决定了具体分布B，从分布中随机抽取200个变量值

rbinom(200,10,1/2)  

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• 泊松分布

*** 泊松分布概念

经推导，

服从泊松分布的随机变量特征数：

泊松分布是描述在一定空间（长度、面积和体积）或一定时间间隔内点子散布状况的理想化模型。

例1：麦田内，平均10m2有一株杂草，现在要问每100m2麦田中有0株杂草，1株杂草，2株杂草……的概率是多少？
→ 有杂草是小概率事件
→ 每100m2麦田中，平均杂草数𝜇

*** R实现：

1. 根据平均成功率找到一定数量成功的概率

dpois(5,10)        #每100m2麦田中有5株杂草的概率

2. 根据平均成功率找到一定数量的成功或更少的概率

ppois(5,10)        #每100m2麦田中最多不超过5株杂草的概率

3. 根据平均成功率找到对应某个百分位数的成功次数

qpois(ppois(5,10),10)       #每100m2麦田中最多不超过多少株杂草时，其概率为0.06708596

4. 生成一个遵循泊松分布的随机变量列表

dpois(5,10)        #生成200个试验结果中每100m2麦田中有多少株草的向量

例2：馒头店卖馒头 → 服从泊松分布

在𝑇时间内卖出𝑘个馒头的概率为：

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• 负二项分布

负二项分布描述的也是伯努利实验，不过目标事件变成了：
对于Bernoulli过程，第y次试验时，发生第𝑘次事件A的概率。