积分题7

作者: Raow1 | 来源:发表于2020-12-16 15:49 被阅读0次

积分题7
积分题
齐彩×7号市集 | 简单点，“占便宜”的方式可以简单点！
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求积分： $\int_0^{1} \arctan{\frac{1-\sqrt x}{1+ \sqrt x}} \mathrm dx$
$\begin{align*} \int_0^{1} \arctan{\frac{1-\sqrt x}{1+ \sqrt x}} \mathrm dx &= x\arctan{\frac{1-\sqrt x}{1+ \sqrt x}}|^1_0 + \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\sqrt x}{1+x} \mathrm d{x} \\ &\xlongequal{\sqrt x = t} \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^2} \mathrm d t \\ &= \int_0^1 \frac{1+t^2}{1+t^2} \mathrm d t - \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} \mathrm d t \\ &= 1 - \arctan t|_0^1 \\ &= 1- \frac{\pi}{4} \end{align*}$

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