积分题12

积分题12

作者: Raow1 | 来源:发表于2021-01-05 22:52 被阅读0次

2018-2-6. 对于区域 $B = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \}$ 。计算 $\iiint\limits_B \cos(z) \mathrm dx \mathrm dy \mathrm dz$ 。

由高斯公式知：
$\begin{align*} \iiint\limits_B \cos(z) \mathrm dx \mathrm dy \mathrm dz &= \iint\limits_{\Sigma} \sin z \mathrm dx \mathrm dy \\ &= 2 \iint\limits_{D_{xy}} r \sin{\sqrt{1-r^2}} \mathrm dr \mathrm d\theta \\ &= 2 \int_0^{2\pi} \mathrm d\theta \int_0^1 r \sin{\sqrt{1-r^2}} \mathrm dr \\ &= 4\pi \int_1^0 -\frac{1}{2} \sin{\sqrt{1-r^2}} \mathrm d (1-r^2) \\ &\xlongequal{t=1-r^2} 2\pi \int_0^1 \sin \sqrt t \mathrm dt \\ &= 4\pi(\sin \sqrt t - \sqrt t \cos \sqrt t) |^1_0 \\ &= 4\pi(\sin 1 - \cos 1) \end{align*}$

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