用积对数函数求解对数指数方程

作者: whzecomjm | 来源:发表于2018-09-24 10:58 被阅读6次

这是一篇高中时候写的文章。

当我们遇到一些问题，而他们最终以形如 $x^2\ln x + x -1=0$ ^[1], $e^x-\ln x=8$ 等方程的形式出现时，我们也许因此会十分懊恼，因为解超越方程在我们能力范围内是无法实现的。到这里每次老师都会告诉你，我们可以用计算器通过二分法求其近似值。但实际上，有一些此类方程是有有理数解的，可是，我们该如何找到他们呢？如果答案是 1,2,3，我们可能试得出来; 但是如果解是2/5,99等,我们还能计算得出来吗？而且，天性想知道更多的我们可能想要任何诸如方程的解。

我们也许会发现这一事实, $x^2=2$ 的根是 $\pm\sqrt{2}$ ，可是 $\sqrt{2}$ 只是一个符号，它到底是多少？我们还要费很大力气去算，并且算出来的还只是它的近似值。但是，我们从来不会因为我们得出此类答案而感到奇怪，这是因为我们已经习惯了这一表示方法。所以，自从我们开始走出有理数的限制时，我们的数学就在逐渐的向符号化发展。所以，我们会遇到 $\ln3,\sin 3, \arccos 0.5$ 等数，而现在我们也已经习惯了它们，可是当它们可以计算为有理数时，甚至是根式时，我们往往会计算出来，比如 $\sin \pi/2=1$ 。

我们应该已经明白对指数超越方程是不可能单纯表示为根式。根式是多项式方程的通解产生的，比如由二次方程我们得到了开平方，三次方程得到开立方等等。同样单纯的三角方程的解可以用反三角函数表示，简单的指数方程可以用对数函数表示。对于一般的对指数超越方程，我们该怎么做呢？一次做数学题促使我“造出”这么一个函数去解决这一问题。首先，我们来看一下这一积对数函数( $f(x)=\mathrm{productln} x = \mathrm{prln} x$ )的定义:

$\mathrm{prln} a$ 既是关于x的方程 $a=x e^x$ (a>-1/e) 的解，即 $x=\mathrm{prln} a$ 。或者说，当 $x>-1$ 时， $y=xe^x$ 的反函数就是积对数函数。这里做 $x>-1$ 的要求大家可能知道， $y’=(x e^x)’=(x+1) e^x$ ，当 $x>-1$ 时， $y=f(x)$ 才单调递增，从而才有反函数。这与反三角函数的定义是类似的。积对数函数在 $[-1/e,\infty)$ 区间才有定义，并且是单调递增函数。

下面我们计算这一函数的导数，我们首先易得到如下式子：
$\operatorname{prln}'x=\frac{e^{-\operatorname{prln} x}}{1+\operatorname{prln}x}=\frac{\operatorname{prln}x}{x(1+\operatorname{prln}x)}$
从而得到恒等式：
$xe^{-\operatorname{prln}x}=\operatorname{prln}x$
这个导数关系式可以通过反函数的导数求导方法（我们应该求过arcsinx的导数），大家可以算一算。如果没有学习导数的同学也不要紧，记住就好了。噢，其实也不用记住，因为解方程不需要它，只是最后如果不是有理数而要约出来时要用到它。