对数函数：2011年文数全国卷题21

对数函数：2011年文数全国卷题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-11-02 22:05 被阅读0次

对数函数：2011年文数全国卷题21

已知函数 $f(x)=\dfrac{a \ln x}{x+1}+\dfrac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+2y-3=0$ .

（Ⅰ）求 $a$ ， $b$ 的值;

（Ⅱ）证明：当 $x \gt 0$ ，且 $x \ne 1$ 时， $f(x) \gt \dfrac{\ln x}{x-1}$ .

【解答问题Ⅰ】

函数 $f(x) = \dfrac{a \ln x}{x+1} + \dfrac{b}{x}$ 的定义域为 $(0,1) \cup (1,+\infty)$ .

$f'(x) = - \dfrac {a \ln x}{(x+1)^2} + \dfrac {a}{x(x+1)} - \dfrac {b}{x^2}$

切线方程可化为： $y = - \dfrac {1}{2} x + \dfrac {3}{2}$

切点坐标为 $(1, 1)$ ；所以

$f(1) = b = 1$

$f'(1) = \dfrac {a}{2} -b = - \dfrac {1}{2}$

解得： $a=1, \; b=1$

【解答问题Ⅱ】

根据前节推导可知： $f(x) = \dfrac{\ln x}{x+1} + \dfrac{1}{x}$

$f(x) \gt \dfrac{\ln x}{x-1}$ 等效于：

$\dfrac{\ln x}{x+1} - \dfrac {\ln x}{x-1} + \dfrac{1}{x} \gt 0$

又等效于：

$\dfrac {1}{x^2-1} (-2 \ln x + x - \dfrac {1}{x} ) \gt 0$

令 $g(x) = -2 \ln x + x - \dfrac {1}{x}$ , $x \in (0,+\infty)$

$g(1) = 0$

$g'(x) = - \dfrac {2}{x} + 1+ \dfrac {1}{x^2}$

$g'(x) = ( \dfrac {1}{x} -1)^2$

$g'(1)=0$

当 $0 \lt x \lt 1, g'(x) \gt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递增， $g(x) \lt 0$

∴ $(x^2-1) \cdot g(x) \gt 0$

当 $x \gt 1, g'(x) \gt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递增， $g(x) \gt 0$

∴ $(x^2-1) \cdot g(x) \gt 0$

综上所述，当 $x \in (0,1) \cup (1,+\infty)$ , $\dfrac {1}{x^2-1} (-2 \ln x + x - \dfrac {1}{x} ) \gt 0$

∴ $f(x) \gt \dfrac{\ln x}{x-1}$ . 证明完毕.

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