用点差法破解抛物线的弦与切线问题：2017年文数全国卷A题20

用点差法破解抛物线的弦与切线问题：2017年文数全国卷A题20

20.（12分）

设 为曲线 上两点， 与 的横坐标之和为 .

（1）求直线 的斜率;

（2）设 为曲线 上一点， 在 处的切线与直线 平行，且 ，求直线 的方程.

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【解第1问】

∵ 是曲线 上两点，

∴

所以，直线 的斜率 .

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【解第2问】

设想 是一条与 平行的弦。根据第1问中的推导可知：当弦 平行移动时， 与 的横坐标之和保持不变，仍为 .

所以， 中点的横坐标恒为 . 两点无限靠近，弦 就成为抛物线的切线。所以，

设 的中点为 , 则 方程为：

记 两点的坐标为：

联立弦与抛物线的方程可得：

其实就是点 的坐标，应舍弃。所以，直线 的方程为：

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【提炼与提高】

如何根据中点坐标计算抛物线的弦及切线的斜率？

『点差法』

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如何利用已经条件中的垂直关系？

有以下方向可选：（1）向量内积为0；（2）勾股定理；（3）斜率之积为-1；（4）斜边上的中线等于斜过的一半；

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【相关考题】

「2014年文数全国卷A题20」