单期库存模型：允许缺货
此模型与之前标准EOQ模型的唯一区别就是超量无法满足的需求会进入等候队列Back Order，也就是说允许系统缺货，而其他条件都一样。如果从图上来看，允许缺货就意味着，在某些时间段的期望库存是负数。当然，缺货是有成本的，那么在给定缺货的成本条件下，应该缺货多少数量才可以让总的成本最小化就是我们要探讨的内容。
为了深入探讨这个问题，我们要引入2个新的成本参数：
Cs = Cost of Shortage, 它与 Ce = Cost of Excess = c * h相对应，
b = backlog数量。
缺货时，在T1时间有库存，总的成本公式就变成了这个样子，
经过一些代数整理，合并同类项和应用相似三角形的一些性质等动作，公式变成这样：
再根据一阶导数求解最优的Q，计算出来的Q_PBO和b*如下：从公式来分析，Q_PBO 一定大于原先的Q*.与直觉似乎不一致！
说实话，这部分的内容是比较难以理解的。从我学完这个课程后的半年时间来回味并且体会这个内容，既然缺货是有成本的，如果缺货的成本小于超量库存持有的成本，那么纯粹站在总成本的角度去考虑，我可以计算出一个允许缺多少货，不是吗?而实际情况确实如此。记得在报童模型里面，当时就引入了一个CR (Critical Ratio) = Cs/(Cs + Ce)，从这个公式的本身数学性质来看，他是大于等于0，小于等于1的一个数字。有些翻译是紧急率，而我认为关键比率更恰当。
允许缺货的情况下 库存策略是：
当IOH(Inventory On Hand) 手上的库存为负数 -b的时候，去采购Q_PBO**数量的库存;
每T**的时间去采购
系统缺货了！我是故意的！！
如下这个图的两级表明，如果Cs很大，就意味着缺货成本很大，那么我们的模型就近似于EOQ标准模型，而如果缺货成本很小，我们就一次订购很多的库存，而且很长时间内都不再采购，因为缺货成本太小了。
如上面的内容所讲，这部分的内容与第一直觉有很大的偏差，需要一些时间来理解，需要一些例子来消化。很多时候，库存管理，乃至供应链管理就是一个平衡的艺术，缺货成本和持有成本，你如何决策？是否有些时候，你是拍脑袋的？MIT给出建议以后，你也可以拍脑袋，只不过这次拍的电脑，而不是人脑！
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