- (9.1)James Stewart Calculus 5th
- (10.3)James Stewart Calculus 5th
- (11.1)James Stewart Calculus 5th
- (10.5)James Stewart Calculus 5th
- (10.6)James Stewart Calculus 5th
- (10.2)James Stewart Calculus 5th
- (10.4)James Stewart Calculus 5th
- (11.2)James Stewart Calculus 5th
- (10.1)James Stewart Calculus 5th
- (8.4)James Stewart Calculus 5th
Models of Population Growth 人口增长模型
先简单说明下模型中的变量:
t 是时间, 自变量
p 是人口数量,因变量

人口增长率为:
dP / dt
假设下面式子成立:

也就是:

我们可以求得指数函数:

对应的图像为:

但是,人口只能为正数,所以,需要取上面部分:

剩下的略
A Model for the Motion of a Spring 弹簧的动力模型
我们知道,弹簧储存的力 为: f = -kx (也就是反方向的力,弹力系数)

有f = ma

我们知道 a 是加速度, 可以表示为 距离和时间的二次微分

我们可以有

简单变化,可以得到:

General Differential Equations 一般微分方程
In general, a differential equation is an equation that contains an unknown function and
one or more of its derivatives
微分方程,也就是,包含一个或者多个导数 和 未知函数的方程
例如:

其实,也就是

这里,如果我们给微分方程一个具体的解,

则会得到函数

但是,大多数时候,微分方程没有那么简单。
它没有一个具体的解决方法。后面会具体学习
例子1

这里先求y的微分

然后,右侧就可以表示为:

这个时候,每个c的值,都是微分方程的一个解。
其实,上面这个例子,很好理解。
我们简单总结下。
我们通常对方程的解集不感兴趣,所以需要添加附加条件
通常的问题,都会添加前提条件

我们可以叫做, ** initial condition 初始条件 **。
微分方程,满足的 ** initial condition 初始条件 **
叫做: initial-value problem 初始值问题
(也很好理解,解集赋初值的条件下,可以求出具体的值)
例子2

我们把 t = 0, y = 2 带入到上面的式子

有

可以求出 c = 1/3
所以,对应的解为:

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