哲学·科学·常识中的数学

以前我写过一篇文章《为什么要学习数学》，从四个维度回答小朋友的问题。其中有一个形而上的答复。

陈嘉映在《哲学·科学·常识》这本书中，对这个形而上的答复有更深邃的见解。

这篇文章，我将把他的关于数学的观点整理出来，并且附上一些我的思考。希望任何一位跟数学打交道的人对数学有一个更深刻的认识。

哲学中的数学

陈嘉映用一段优美的文字高度概括了数学的本质。

数学的最大特点在于进行长程推论而不失真，因此，科学可以借数学语言通达感官远远不及的世界而仍保持真实。

数学的优点常被人称道：数学概念的准确性、论证过程的严格性、数学真理的确定性和普遍性。

一个数学化的物理世界将是一个没有时间性的世界，这一点也使人们把数学真理说成是永恒真理。

“数学是精确的”是说：数学是明确无歧义的，数学描述和数学推理具有唯一性。

数学的真正独特力量来自它的普遍性或普适性。因为数学是一种语言。

我就以小学一年级学习的内容“1+2=3”举例，来感受一下数学的特征。

在这个算式中，一共有五个符号，包括数字1、2、3，“+”和“=”。

1、2、3

数字1、2、3是从日常生活中抽象出来，洗去了物理属性和内在概念。数字不象征什么别的东西，无涉乎数以外的东西。数字本身没有内涵。数字之间的关系是外在的，每一个数都是由其他数界定的。

+

符号“+”是数学语言定义出来的。从“+”开始，通过加法的逆运算得到“-”；通过相同数相加的简便运算得到“×”；最后从乘法的逆运算或者同数连减的简便运算得到“÷”。由此形成完整的四则运算系统。整个过程都只依赖外在的定义和严格的推导。

=

符号“=”连接左右两边的量，是量之间换算的主要工具，是进行计算推理的基础。

从“1+2=3”开始，数学推理无论走多远，都保持着原本的完全等同。

数学，是洗去了象征的、纯粹的数之间的演算。从一个算式通往另一个算式是严格的演绎证明。

科学中的数学

伽利略开启了“数学—实验方法”的近代科学方法，由此拉开了科学数学化的帷幕。

而牛顿完成了从形而上学到数学物理的关键转变。

近代科学数学化的深一层含义是科学家从整体上不再把数学仅只视作操作的方式，数学正是探求自然世界的最正当的途径，甚至是唯一的途径。

在一切现象下面，都有物理结构，而这个物理结构只能用数学来表示。

对物理学来说，凡合乎数学描述的，就是实在的，乃至唯有合乎数学描述的，才是实在的。

所有的科学预测能力，都是建立在以数学为基础的长程推理上的。

常识中的数学

数学语言的长处和短处是一个硬币的两面。

数学语言之所以适合于长程的严格推理，恰因为它不受弥漫感受性的约束，恰因为它不是由感觉（意义）引领进行推理的。

另一面，数学语言远离了可感可经验的自然世界，并且由于缺乏自然感而缺乏实在感。所以，它无法形成常识从而指导我们的日常生活。

常识眼中的世界和数学世界是完全不同的。

哪个才是更真实的世界？

结尾

让我再次引用康德的名言来结束本文：

我断定，在所有关于自然的特定理论中，我们能够发现多少数学，就能发现多少真正的科学。

数学，世界的本源。

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分享教育理念和学习方法。作者：维七，上海交通大学毕业，小学数学老师，终生学习者。