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8.线性振子,均匀场,透射系数

8.线性振子,均匀场,透射系数

作者: Obj_Arr | 来源:发表于2021-01-27 23:44 被阅读0次

    这几节有着大量的运算,但是几乎都是在解薛定谔方程。之前我在这上面纠缠了很长时间,但是没什么意义,毕竟微分方程的求解是很复杂的事情,推导起来很不容易,也没有这个必要,并且在研究求解的方法时得到了很多非初等的函数,像艾里函数,超几何函数,勒让德函数,厄米多项式,等等,他们之间的性质错综复杂,要想弄明白实属不易,可以利用一些碎片时间来学习。现在主要还是基础理论的学习,也就暂时跳过这些具体求解的内容。

    那么,这几节在将什么东西,按照之前的讨论,粒子的能量与势能的关系,有限运动和无限运动,以及与离散谱和连续谱的联系。

    线性振子其实就是弹簧,有着特殊的势能表达式,就是弹性势能U=m\omega ^2x^2/2。于是求解其波函数就是求解薛定谔方程\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E-\frac{m}{2} \omega^{2} x^{2}\right) \psi=0。还有矩阵法,就是用算符的矩阵形式得到矩阵方程来求解本征值和本征函数(就是定态波函数)。

    E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega, \quad n=0,1,2, \cdots

    \psi_{n}(x)=\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^{n} n !}} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}} H_{n}\left(x \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\right)

    最后得到这么一堆,本征值形式还比较简单,也是很常用的,波函数就太复杂了,不好用。

    振子能级基态为\hbar\omega/2,之后相邻的两个态间相差\hbar\omega

    然后是均匀场中粒子的波函数,均匀场中的势能坐标函数是U=-Fx,所以薛定谔方程为

    \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+\frac{2 m}{h^{2}}(E+F x) \psi=0

    作变量代换

    
\begin{array}{c}
\xi=\left(x+\frac{E}{F}\right)\left(\frac{2 m F}{\hbar^{2}}\right)^{1 / 3} \\

\end{array}

    方程就变成了

    \psi^{\prime \prime}+\xi \psi=0

    求解后得到波函数表达式为

    \psi(\xi)=A \Phi(-\xi)

    其中\Phi(\xi)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{+\infty} \cos \left(\frac{1}{3} u^{3}+u \xi\right) \mathrm{d} u以及A=\frac{(2 m)^{1 / 3}}{\pi^{1 / 2} F^{1 / 6} h^{2 / 3}}

    于是,这两种特殊势场中的波函数就知道了。

    最后是透射系数,反映的是粒子穿透势垒的几率,对于经典力学,如果粒子能量低于势垒,那绝对穿不过去,最后都要反弹回来,但是量子力学中由于粒子是一团东西,分布在一个能量范围内,名义上能量的值不过是概率最大的均值,粒子可以取得能量其实是在很广的范围内的,自然存在比均值要大的值。

    其实,概率就像积分一样,我们可以认为粒子具有所有可能取到物理量范围的值,对每一种情况都计算一遍,然后通过加权平均的方式得到整体的一个值。这就像积分理论中,对于积分区域内的所有的函数值都要知道,最后根据其定义域所表现出的测度来决定其所占的比重,最后得到一个数值。在这个过程中,通过零测集的性质,使得几乎处处有定义的函数一样可以积分,从而使得一些性质古怪的函数也纳入了可积函数中去。量子力学中的情况又有什么区别呢?物理量的平均值不过是将概率作为加权函数,也就是一种正测度,对区域内的物理量值进行积分的过程,最后得到一个数值,就是均值。所以,有些东西看着复杂,其实框架是很简单的,不过是填充了复杂的东西罢了。

    说回正题,这个透射系数反射系数,其实还是求解波函数,只是将势场分成了几块,一块是主要的粒子运动区,一块是墙壁内就是势能值很大的那一区域,一块是穿透区,就是看似不应该到达的区域。

    看上图,最左边的A区,一团东西往右运动,结果碰壁了,一部分弹了回来,一部分继续向前运动,到达了中间的B区,在墙壁中自然很难前进,不断有部分东西被弹回来,而那些能量很高的部分仍在继续前进,最后冲破墙壁到达了外面的C区,那么透射系数就是指这些高能的部分占了多大的比重。类似的还有反射系数,由于这一团东西不可能呆着不动,所以,入射的部分就等于反射和透射的部分值和。也就是这两个系数相加就是1。

    就到这里了。抄公式还挺累的,虽然抄了不代表就能推出来,不过,混个眼熟手熟,就不至于害怕了,虽然那么长,也不过是加减乘除,构造上没有什么特别的地方,也就只是量的堆积,没有质的变化。然后是粒子波函数的理解,虽然很难找到实际例子的对应,但是姑且可以认为是单个粒子分离出去的无数的虚粒子,虚粒子具有所有可能的物理量取值,并且其相对数量由波函数的概率分布所决定,而进行测量时却只能测得他们最终聚集成的实粒子的物理量。也就是一个不可分割的系统,像一个黑箱一样,只能通过外部接口来测量他,而不能去拆开他,或者说现在的科学水平还没有找到拆开他的方法,毕竟多个粒子的波函数是可以互相作用的,而我们的测量却做不到。

    然后是中间引入的积分理论的部分,熟悉的人应该知道那就是测度理论,实变函数就是其中比较基础的部分,讲欧式空间中的勒贝格测度,勒贝格积分,如果目光放远一些,就是抽象测度理论,可测空间上的积分,概率本身其实也可以看作是一种测度,具有正值,可数可加等性质,概率空间就是对欧式空间赋予了一种概率测度,求某一分布的均值,就变成了对某一函数在概率可测空间中的积分。

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