关于时间的处理，一种是将时间放置到波函数中，定态波函数，含时和不含时的情况就是这样，算符只是关于坐标的函数，这种称之为薛定谔绘景。还有一种处理方法，将时间放置到算符上面去，这样得到的算符就不仅仅是坐标的函数，还是时间的函数。这种就是海森伯绘景。这种方法下，算符作用在最初的波函数上，可以求解之后任意时间的波函数。
然后是密度矩阵，之前也说过，矩阵的好处就是可以更加细致入微，虽然本质上没什么区别，仅仅是将波函数按照某一物理量的本征函数组展开了。但是在运算过程的逐步理解上比较友好，形式化的，各种性质容易迁移和验证。这个密度矩阵，是在考虑更广泛的问题背景下引入的，之前所考虑的系统总是隐含了一个条件，即他们总是可以完全测量的，虽然说不知道精确的物理量数值，但是总可以依靠一个波函数给出所有可能的值及其概率，本质上是完全确定的，不会出现不能预测的东西。但是，这样的系统毕竟是精心挑选出来的，事实上存在着不能不具有波函数的系统，凭借一个波函数不能完全描述他，比如一个具有波函数的封闭系，他内部的一个子系统，往往就不具有波函数，因为假如这个子系统具有波函数，那么他的互补的部分构成的子系统也应该具有波函数，这两个波函数的乘积就是这个封闭系的波函数。这在算符的乘积那一块讨论过，不过我可能没有写。而且为了保证随时间的变化这个乘积关系保持不变，子系统必须和互补部分相互独立，没有相互作用。显然对于我们任意选择的子系统而言，这种限制条件太过严苛了。所以存在着大量的系统，不能通过波函数直接描述。
那么怎么办呢，就要靠密度矩阵了，通过对子系统进行扩充，总可以找到一个可用波函数描述的大系统，将这个子系统给包进去，而且，子系统只影响这个大系统的部分坐标，所以总体波函数的坐标关系总可以分成两块，一块受子系统影响，一块不受影响。
密度矩阵
密度矩阵表示的平均值
通过一些技巧，得到这样的表示，于是，只要知道了密度矩阵，物理量的平均值还是可以求的。具体的嘛，也不好去讲。反正这个波函数肯定和之前的是有区别的。之前可以整体对坐标积分，这里就只能分别积分了。所以这显然是一种推广。之后是密度矩阵的各种性质。一个重要性质，就是区分纯态和混合态。纯态就是最开始考虑的那种系统，一个波函数就表示出来了，混合态就必须用密度矩阵才能表示。对于纯态而言，密度矩阵是变量分离的，可以表示为波函数的乘积，结果就发现，具有幂等性，就是说自身的平方还是自己，自乘多少遍这个矩阵都不会变换。
就到这里了，碰到陌生的概念，速度自然就会慢下来了，不过，这或许才是真正的学习，熟悉的东西不过知识的运用，即使遇到困难了，也总是在一个框架下，按照某种熟知的推理轨迹，很容易解决，算不得学习新知。如果，对这一框架非常熟悉，即使概念不通，也不过是这种框架的理论填充，倘若理清了概念的映射关系，甚至可以举一反三，实现定理间的对应，成为跨理论掌握者，虽然名头很响，但实质上没有真正意义上的进步，进步就体现在对知识框架的突破，全新的量的关系，从未见过的运算手段，无法触类旁通的推理关系，只能靠着一些极为基础的工具而前进，这就体现对思维模式的变革，是大进步，最近也就学习微分几何的时候这种感觉很强烈，从完全不明白到慢慢习惯于那种表述，尽管花费了大量时间和精力，却也感到非常值得。这也是数学的一大魅力了。
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